Як знайти проміжки зростання і спадання функції
Визначення проміжків зростання і спадання функції - це один з основних аспектів дослідження поведінки функції поряд з перебуванням точок екстремумів, в яких відбувається перелом від спаду до зростання і навпаки.
1
Функція y = F (x) є зростаючою на певному інтервалі, якщо для будь-яких точок x1 lt; x2 цього інтервалу виконується умова F (x1) lt; F (x2). Тобто чим більше значення аргументу, тим більше значення функції. Для спадної функції справедливо F (x1) gt; F (x2), де x1 завжди gt; x2 для будь-яких точок на інтервалі.
2
Існують достатні ознаки зростання і спадання функції, які випливають з результату обчислення похідної. Якщо похідна функції позитивна для будь-якої точки інтервалу, то функція зростає, якщо негативна - убуває.
3
Щоб знайти проміжки зростання і спадання функції, потрібно знайти область її визначення, обчислити похідну, вирішити нерівності виду F `(x) gt; 0 і F `(x) lt; 0, а потім включити в отриманий інтервал прикордонні точки, в яких функція неперервна і визначена і виключити ті, в яких її значення не може бути визначено.
4
Розглянемо приклад.
Знайти проміжки зростання і спадання функції для y = (3·-x²- + 2·-x - 4) / x²-.
Знайти проміжки зростання і спадання функції для y = (3·-x²- + 2·-x - 4) / x²-.
5
Рішення.
1. Знайдемо область визначення функції. Очевидно, що вираз, що стоїть в знаменнику, має завжди бути відмінним від нуля. Тому точка 0 виключається з області визначення: функція визначена при x &isin- (- - 0)&cup- (0- + ).
1. Знайдемо область визначення функції. Очевидно, що вираз, що стоїть в знаменнику, має завжди бути відмінним від нуля. Тому точка 0 виключається з області визначення: функція визначена при x &isin- (- - 0)&cup- (0- + ).
6
2. Обчислимо похідну функції:
y `(x) = ((3·-x²- + 2·-x - 4) ` ·-x²- - (3·-x²- + 2·-x - 4) ·- (x² -) `) / x ^ 4 = ((6·-x + 2) ·-x²- - (3·-x²- + 2·-x - 4) ·-2·-x) / x ^ 4 = (6·-x³- + 2·-x²- - 6·-x³- - 4·-x²- + 8·-x) / x ^ 4 = (8·-x - 2·-x² -) / x ^ 4 = 2·- (4 - x) / x³-.
y `(x) = ((3·-x²- + 2·-x - 4) ` ·-x²- - (3·-x²- + 2·-x - 4) ·- (x² -) `) / x ^ 4 = ((6·-x + 2) ·-x²- - (3·-x²- + 2·-x - 4) ·-2·-x) / x ^ 4 = (6·-x³- + 2·-x²- - 6·-x³- - 4·-x²- + 8·-x) / x ^ 4 = (8·-x - 2·-x² -) / x ^ 4 = 2·- (4 - x) / x³-.
7
3. Вирішимо нерівності y ` gt; 0 і y ` lt; 0:
(4 - x) / x³- gt; 0;
(4 - x) / x³- lt; 0.
(4 - x) / x³- gt; 0;
(4 - x) / x³- lt; 0.
8
4. Ліва частина нерівності має один дійсний корінь х = 4 і звертається в нескінченність при x = 0. Тому значення x = 4 включається і в проміжок зростання функції, і в проміжок убування, а точка 0 не включається нікуди.
Отже, шукана функція зростає на проміжку x &isin- (- - 0) &cup- [2- + ) і убуває при x (0- 2].
Отже, шукана функція зростає на проміжку x &isin- (- - 0) &cup- [2- + ) і убуває при x (0- 2].
Рада 2: Як знайти на функції проміжки спадання
Функція являє собою строгу залежність одного числа від іншого, або значення функції (y) від аргументу (х). Кожен процес (не тільки в математиці), може бути описаний своєю функцією, яка буде мати характерні особливості: проміжки спадання і зростання, точки мінімумів і максимумів і так далі.
Вам знадобиться
- - папір;
- - ручка.
Інструкція
1
Функція e = f (x) називається спадною на інтервалі (a, b), якщо будь-яке значення її аргументу х2 більшого х1, що належать інтервалу (а, b), призводить до того, що f (x2) менше f (x1). Якщо коротко, то: для будь-яких x2 і x1 таких, що x2 gt; x1, що належать (a, b) виконано f (x2)
2
Відомо, що на проміжках убування похідна функції негативна, тобто алгоритм пошуку проміжків убування зводиться до двох наступних дій:
1. Визначення похідної функції y = f (x).
2. Рішення нерівності f `(x)
1. Визначення похідної функції y = f (x).
2. Рішення нерівності f `(x)
3
Приклад 1.
Знайти проміжок спадання функції:
y = 2x ^ 3 -15x ^ 2 + 36x-6.
Похідна цієї функції буде дорівнює: y `= 6x ^ 2-30x + 36. Далі необхідно вирішити нерівність y `
Знайти проміжок спадання функції:
y = 2x ^ 3 -15x ^ 2 + 36x-6.
Похідна цієї функції буде дорівнює: y `= 6x ^ 2-30x + 36. Далі необхідно вирішити нерівність y `
4
Приклад 2.
Знайти проміжки спадання f (x) = sinx + x.
Похідна цієї функції буде дорівнює: f `(x) = cosx + 1.
Вирішуючи нерівність cosx + 1
Знайти проміжки спадання f (x) = sinx + x.
Похідна цієї функції буде дорівнює: f `(x) = cosx + 1.
Вирішуючи нерівність cosx + 1
Статті за темою "Як знайти проміжки зростання і спадання функції"
Оцініть, будь ласка статтю