Як знайти похідну неявної функції
Функції задаються співвідношенням незалежних змінних. У разі, якщо рівняння, що задає функцію, не вирішується щодо змінних, то функція вважається заданою неявно. Для диференціювання неявних функцій існує особливий алгоритм.
1
Розгляньте неявну функцію, задану деяким рівнянням. При цьому неможливо виразити залежність y (x) в явному вигляді. Наведіть рівняння до виду F (x, y) = 0. Щоб знайти похідну y `(x) від неявної функції, спочатку продіфференціруйте рівняння F (x, y) = 0 по відношенню до змінної x, враховуючи, що y дифференцируема по x. Використовуйте правила обчислення похідної складної функції.
2
Вирішіть отримане після диференціювання рівняння відносно похідної y `(x). Підсумкова залежність і буде похідною неявно заданої функції по змінній x.
3
Вивчіть приклад для найкращого розуміння матеріалу. Нехай функція задана в неявній формі як y = cos (x-y). Наведіть рівняння до виду y-cos (x-y) = 0. Продіфференціруйте це рівняння по змінній x, застосовуючи правила диференціювання складної функції. Отримуємо, y `+ sin (x-y) - (1-y`) = 0, тобто y `+ sin (x-y) -y`-sin (x-y) = 0. Тепер вирішите отримане рівняння щодо y `: y` - (1-sin (x-y)) = - sin (x-y). У підсумку виходить, що y `(x) = sin (x-y)÷- (sin (x-y) -1).
4
Знайдіть похідну неявної функції декількох змінних наступним чином. Нехай задана функція z (x1, x2, ..., xn) в неявній формі рівнянням F (x1, x2, ..., xn, z) = 0. Знайдіть похідну F `| x1, вважаючи змінні x2, ..., xn, z постійними. Аналогічно обчисліть похідні F `| x2, ..., F` | xn, F `| z. Після цього висловіть приватні похідні у вигляді z `| x1 = -F` | x1÷-F `| z, z` | x2 = -F `| x2÷-F `| z, ..., z` | xn = -F `| xn÷-F `| z.
5
Розгляньте приклад. Нехай задана функція двох невідомих z = z (x, y) формулою 2x²-z-2z²- + yz²- = 6x + 6z + 5. Наведіть рівняння до виду F (x, y, z) = 0: 2x²-z-2z²- + yz²--6x-6z-5 = 0. Знайдіть похідну F `| x, вважаючи y, z постійними: F` | x = 4xz-6. Аналогічно, похідна F `| y = z²-, F `| z = 2x²--4z + 2yz-6. Тоді z `| x = -F` | x÷-F `| z = (6-4xz)÷- (2x²--4z + 2yz-6), а z `| y = -F` | y÷-F `| z = -z²-÷- (2x²--4z + 2yz-6).
Зверніть увагу
Запис F `| x означає обчислення похідної функції F по змінної x.
Статті за темою "Як знайти похідну неявної функції"
Оцініть, будь ласка статтю
Ще статті розділу