Інтеграл відноситься до понять математичного аналізу і графічно являє собою площу криволінійної трапеції, обмеженою на осі абсцис граничними точками інтегрування. Знаходити інтеграл функції значно складніше, ніж шукати її похідну.

Існує кілька методів обчислення невизначеного інтеграла: Безпосереднє інтегрування, введення під знак диференціала, метод підстановки, інтегрування по частинах, підстановка Вейерштрасса, теорема Ньютона-Лейбніца і ін.

Безпосереднє інтегрування передбачає приведення за допомогою простих перетворень вихідного інтеграла до табличному значенню. наприклад:&int-dy / (sin²-y·-cos²-y) = &int- (cos²-y + sin²-y) / (sin²-y·-cos²-y) dy = &int-dy / sin²-y + &int-dy / cos²-y = -ctgy + tgy + C.

Метод введення під знак диференціала або заміна змінної являє собою постановку нової змінної. При цьому вихідний інтеграл зводиться до нового інтеграла, який можна перетворити до табличного вигляду методом безпосереднього інтегрування: Нехай є інтеграл &int-f (y) dy = F (y) + C і деяка змінна v = g (y), тоді:&int-f (y) dy -gt; &int-f (v) dv = F (v) + C.

Слід запам`ятати деякі найпростіші підстановки для полегшення роботи з цим методом: dy = d (y + b) -ydy = 1/2·-d (y²- + b) -sinydy = - d (cosy) -cosydy = d (siny).

приклад:&int-dy / (1 + 4·-y²-) = &int-dy / (1 + (2·-y) ²-) = [dy -gt; d (2·-y)] = 1/2·-&int-d (2·-y) / (1 + (2·-y) ²-) = 1/2·-arctg2·-y + C.

Інтегрування по частинах проводиться за такою формулою:&int-udv = u·-v - &int-vdu.Прімер:&int-y·-sinydy = [u = y- v = siny] = y· - (- cosy) - &int - (- cosy) dy = -y·-cosy + siny + C.

Визначений інтеграл в більшості випадків знаходиться за теоремою Ньютона-Лейбніца:&int-f (y) dy на інтервалі [a- b] дорівнює F (b) - F (a) .Приклад: Знайдіть &int-y·-sinydy на інтервалі [0- 2 ]:&int-y·-sinydy = [u = y- v = siny] = y· - (- cosy) - &int - (- cosy) dy = (-2 ·-cos2 + sin2 ) - (-0·-cos0 + sin0) = -2 .

Як правило, обчислення інтеграла зводиться до того, щоб привести підінтегральний вираз до табличного вигляду. Існує безліч табличних інтегралів, яке полегшує вирішення таких завдань.

Є кілька способів привести інтеграл до зручного виду: безпосереднє інтегрування, інтегрування по частинах, метод підстановки, введення під знак диференціала, підстановка Вейерштрасса і ін.

Метод безпосереднього інтегрування - це послідовне приведення інтеграла до табличного вигляду за допомогою елементарних перетворень: соs (х / 2) d х = 1/2 • (1 + соs х) dх = 1/2 • dх + 1/2 • соs xdх = 1/2 • (х + sin х) + С, де C - константа.

Інтеграл має безліч можливих значень виходячи з властивості первісної, а саме наявності сумовною константи. Таким чином, знайдене в прикладі рішення є загальним. Приватним рішенням інтеграла називається загальне при певному значенні постійної, наприклад, С = 0.

Інтегрування по частинах застосовується, коли підінтегральний вираз являє собою твір алгебраїчної і трансцендентної функцій. Формула методу: udv = u • v - vdu.

Оскільки позиції множників в твори значення не мають, то в якості функції u краще вибрати ту частину виразу, яка після диференціювання спрощується. Приклад: x · ln xdx = [u = ln x- v = x- dv = xdx] = x / 2 · ln x - x / 2 · dx / x = x / 2 · ln x - x / 4 + C.

Введення нової змінної - це прийом методу підстановки. При цьому змінюється і сама підінтегральна функції, і її аргумент: x · (x - 2) dx = [t = x-2 x = t + 2 dx = 2 · tdt] = (t + 2) · t · 2 · tdt = (2 · t ^ 4 + 4 · t ) dt = 2 · t ^ 5/5 + 4 · t / 3 + C = [x = t + 2] = 2/5 · (x - 2) ^ (5/2) + 4/3 · (x - 2) ^ (3/2) + C.

Метод введення під знак диференціала передбачає перехід до нової функції. Нехай f (x) = F (x) + C і u = g (x), тоді f (u) du = F (u) + C [g `(x) = dg (x)]. Приклад: (2 · x + 3) dx = [dx = 1/2 · d (2 · x + 3)] = 1/2 · (2 · x + 3) d (2 · x + 3) = 1/6 · (2 · x + 3) + C.