Нехай площину задана трьома належними їй точками K (xk-yk-zk), M (xm-ym-zm), P (xp-yp-zp). Щоб знайти нормальний вектор, складемо рівняння цієї площині. Позначте довільну точку, що лежить на площині, буквою L, нехай у неї будуть координати (x-y-z). Тепер розгляньте три вектора PK, PM і PL, вони лежать на одній площині (Компланарність), тому їх мішаний добуток дорівнює нулю.

Знайдіть координати векторів PK, PM і PL:
PK = (xk-xp-yk-yp-zk-zp)
PM = (xm-xp-ym-yp-zm-zp)
PL = (x-xp-y-yp-z-zp)
Змішане твір цих векторів дорівнюватиме определителю, представленому на малюнку. Цей визначник слід обчислити, щоб знайти рівняння для площині. Обчислення змішаного твори для конкретного випадку дивіться в прикладі.

приклад
Нехай площину задана трьома точками K (2-1--2), M (0-0--1) і P (1-8-1). Потрібно знайти нормальний вектор площині.
Візьміть довільну точку L з координатами (x-y-z). Обчисліть вектори PK, PM і PL:
PK = (2-1-1-8--2-1) = (1--7--3)
PM = (0-1-0-8--1-1) = (-1--8--2)
PL = (x-1-y-8-z-1)
Складіть визначник для змішаного добутку векторів (він на малюнку).

Тепер розкладіть визначник по першому рядку, а потім підрахуйте значення визначників розміру 2 на 2.
Таким чином рівняння площині -10x + 5y - 15z - 15 = 0 або, що те ж, -2x + y - 3z - 3 = 0. Звідси легко визначити вектор нормалі до площині: N = (-2-1--3).

Приступаючи до вирішення поставленого завдання, слід пам`ятати, що нормаль до поверхні визначається як нормаль до дотичної площини. Виходячи саме з цього і буде вибиратися методика рішення.

Графік функції двох змінних z = f (x, y) = z (x, y) - це поверхня в просторі. Таким чином її найчастіше і задають. В першу чергу необхідно знайти дотичну площину до поверхні в деякій точці М0 (x0, y0, z0), де z0 = z (x0, y0).

Для цього слід згадати, що геометричний зміст похідної функції одного аргументу, це кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції в точці, де y0 = f (x0). Приватні похідні функції двох аргументів знаходять, фіксуючи «зайвий» аргумент точно так же, як і похідні звичайних функцій. Значить геометричний сенс приватної похідною по x функції z = z (x, y) в точці (x0, y0) полягає в рівності її кутового коефіцієнта дотичної, до кривої, утвореної перетином поверхні і площини y = y0 (див. Рис. 1).

Дані, відображені на рис. 1, дозволяють зробити висновок, що рівняння дотичної до поверхні z = z (x, y), що містить точку М0 (xo, y0, z0) в перерізі при y = y0: m (x-x0) = (z-z0), y = y0. У канонічному вигляді можна записати: (x-x0) / (1 / m) = (z-z0) / 1, y = y0. значить направляючий вектор цієї дотичної s1 (1 / m, 0, 1).

Тепер, якщо кутовий коефіцієнт щодо для приватної похідною по y позначити n, то абсолютно очевидно, що аналогічно попередньому висловом, це призведе до (y-y0) / (1 / n) = (z-z0), x = x0 і s2 ( 0, 1 / n, 1).

Далі просування рішення у вигляді пошуку рівняння дотичної площини можна припинити і перейти безпосередньо до шуканої нормалі n. Її можна отримати як векторве твір n = [s1, s2]. Обчисливши його, буде визначено, що в заданій точці поверхні (x0, y0, z0). n = {- 1 / n, -1 / m, 1 / mn}.

Так як будь-який пропорційний вектор також залишиться вектором нормалі, найзручніше відповідь представити у вигляді n = {- n, -m, 1} і остаточно n (дz / дx, дz / дx, -1).