Як вирішувати рівняння вищих ступенів
Рішення більшості рівнянь вищих ступенів не має чіткої формули, як знаходження коренів квадратного рівняння. Однак існує кілька способів приведення, які дозволяють перетворити рівняння надзвичайно до більш наочного вигляду.
1
Найбільш поширеним методом вирішення рівнянь вищих ступенів є розкладання на множники. Цей підхід є комбінацією підбору цілочисельних коренів, подільників вільного члена, і подальший поділ загального многочлена на двочлен виду (x - x0).
2
Наприклад, вирішите рівняння x ^ 4 + x³- + 2·-x²- - x - 3 = 0.Решеніе.Свободним членом даного многочлена є -3, отже, його цілочисельними дільниками можуть бути числа ± 1 і ± 3. Підставте їх по черзі в рівняння і з`ясуйте, чи вийде тотожність: 1: 1 + 1 + 2 - 1 - 3 = 0.
3
Отже, перший же можливий корінь дав правильний результат. Розділіть многочлен рівняння на (x - 1). Розподіл многочленів виконується стовпчиком і відрізняється від звичайного поділу чисел тільки наявністю змінної.
4
Перепишіть рівняння в новому вигляді (x - 1)·- (x³- +2·-x²- + 4·-x + 3) = 0. Найбільша ступінь многочлена зменшилася до третьої. Продовжіть підбір коренів уже для кубічного многочлена: 1: 1 + 2 + 4 + 3 0--1: -1 + 2 - 4 + 3 = 0.
5
Другий корінь x = -1. Поділіть кубічний многочлен на вираз (x + 1). Запишіть вийшло рівняння (x - 1)·- (x + 1)·- (x²- + x + 3) = 0. Ступінь знизилася до другої, отже, рівняння може мати ще два кореня. Щоб знайти їх, вирішите квадратне рівняння: x²- + x + 3 = 0D = 1 - 12 = -11
6
Дискримінант - негативна величина, значить, дійсних коренів у рівняння більше немає. Знайдіть комплексні корені рівняння: x = (-2 + i·- 11) / 2 і x = (-2 - i·- 11) / 2.
7
Запишіть відповідь: x1,2 = ± 1 x3,4 = -1/2 ± i·- 11 / 2.
8
Інший метод рішення рівняння надзвичайно - заміна змінних для приведення його до квадратному. Такий підхід використовується, коли всі ступені рівняння парні, наприклад: x ^ 4 - 13·-x²- + 36 = 0
9
Це рівняння називається біквадратним. Щоб привести його до квадратному, зробіть заміну y = x²-. Тоді: y²- - 13·-y + 36 = 0D = 169 - 4·-36 = 25y1 = (13 + 5) / 2 = 9-y2 = (13 - 5) / 2 = 4.
10
Тепер знайдіть коріння вихідного рівняння: x1 = 9 = ± 3 x2 = 4 = ± 2.
Статті за темою "Як вирішувати рівняння вищих ступенів"
Оцініть, будь ласка статтю