Більшу частину шкільної програми математики займає дослідження функцій, зокрема, перевірка на парність і непарність. Цей метод є важливою складовою процесу вивчення характеру поведінки функції і побудови її графіка.

Як перевірити функцію на парність і непарність

Інструкція

Властивості парності і непарності функції визначається виходячи з впливу знака аргументу на її значення. Це вплив відображається на графіку функції в певній симетрії. Іншими словами, виконується властивість парності, якщо f (-x) = f (x), тобто знак аргументу не впливає на значення функції, і непарності, якщо справедливо рівність f (-x) = -f (x).

Непарна функція графічно виглядає симетричною відносно точки перетину координатних осей, парна - щодо осі ординат. Прикладом парної функції може служити парабола x²-, непарній - f = x³-.

Приклад № 1Ісследовать на парність функцію x² - / (4·-x²- - 1) .Рішення: Підставте в цю функцію -x замість x. Ви побачите, що знак функції не зміниться, оскільки аргумент в обох випадках присутня в парному ступеня, яка нейтралізує негативний знак. Отже, досліджувана функція є парною.

Приклад № 2Проверіть функцію на парність і непарність: f = -x²- + 5·-x.Решеніе: Як і в попередньому прикладі, підставте -x замість x: f (-x) = -x²- - 5·-x. Очевидно, що f (x) f (-x) і f (-x) -f (x), отже, функція не володіє властивостями ні парності, ні непарності. Така функція називається індиферентною або функцією загального вигляду.

Дослідити функцію на парність і непарність можна також наочним чином при побудові графіка або знаходженні області визначення функції. У першому прикладі областю визначення є безліч x &isin- (- - 1/2) &cup- (1 / 2- + ). Графік функції симетричний щодо осі Oy, значить, функція парна.

В курсі математики спочатку вивчають властивості елементарних функцій, а потім отримані знання переносять на дослідження більш складних функцій. Елементарними є статечні функції з цілим показником, показові виду a ^ x при agt; 0, логарифмічні і тригонометричні функції.

Рада 2: Як досліджувати функцію

Дослідженням функції називають спеціальне завдання в шкільному курсі математики, в ході якого виявляються основні параметри функції і будується її графік. Раніше метою даного дослідження була побудова графіка, сьогодні ж це завдання вирішується за допомогою спеціалізованих комп`ютерних програм. Але все ж не зайвим буде ознайомитися з загальною схемою дослідження функції.

Інструкція

Знаходиться область визначення функції, тобто діапазон значень x, при яких функція приймає будь-яке значення.

Визначаються області безперервності і точки розриву. При цьому зазвичай області безперервності збігаються з областю визначення функції, необхідно досліджувати ліві і праві бокові вівтарі ізольованих точок.

Перевіряється наявність вертикальних асимптот. Якщо функція має розриви, то необхідно досліджувати кінці відповідних проміжків.

Парність і непарність функції перевіряється за визначенням. Функція y = f (x) називається парною, якщо для будь-якого x з області визначення вірно рівність f (-x) = f (x).

Функція перевіряється на періодичність. Для цього x змінюється на x + T і шукається найменше позитивне число T. Якщо таке число існує, то функція періодична, а число T - період функції.

Функція перевіряється на монотонність, знаходяться точки екстремуму. При цьому похідну функції прирівнюють до нуля, знайдені при цьому точки, виставляють на числової прямої і додають до них точки, в яких похідна не визначена. Знаки похідною на одержані проміжках визначають області монотонності, а точки переходу між різними областями є екстремумами функції.

Досліджується опуклість функції, знаходяться точки перегину. Дослідження проводиться аналогічно дослідженню на монотонність, але при цьому розглядається друга похідна.

Знаходяться точки перетину з осями OX і OY, при цьому y = f (0) - перетин з віссю OY, f (x) = 0 - перетин з віссю OX.

Визначаються межі на кінцях області визначення.

Будується графік функції.

За графіком визначається область значень і обмеженість функції.

Увага, тільки СЬОГОДНІ!