Як знаходити точку максимуму функції
Точки максимуму функції поряд з точками мінімуму називаються точками екстремуму. У цих точках функція змінює характер поведінки. Екстремуми визначаються на обмежених числових інтервалах і завжди є локальними.
1
Процес знаходження локальних екстремумів називається дослідженням функції і виконується шляхом аналізу першої і другої похідної функції. Перед початком дослідження переконайтеся, що заданий інтервал значень аргументу належить до допустимих значень. Наприклад, для функції F = 1 / x значення аргументу х = 0 неприпустимо. Або для функції Y = tg (x) аргумент не може мати значення х = 90 °.
2
Переконайтеся, що функція Y дифференцируема на всьому заданому відрізку. Знайдіть першу похідну Y `. Очевидно, що до досягнення точки локального максимуму функція зростає, а при переході через максимум функція стає спадною. Перша похідна за своїм фізичним змістом характеризує швидкість зміни функції. Поки функція зростає, швидкість цього процесу є величиною позитивною. При переході через локальний максимум функція починає спадати, і швидкість процесу зміни функції стає негативною. Перехід швидкості зміни функції через нуль відбувається в точці локального максимуму.
3
Отже, на ділянці зростання функції її перша похідна позитивна для всіх значень аргументу на цьому інтервалі. І навпаки - на ділянці спадання функції значення першої похідної менше нуля. У точці локального максимуму значення першої похідної дорівнює нулю. Очевидно, щоб знайти локальний максимум функції, необхідно знайти точку х , в якій перша похідна цієї функції дорівнює нулю. При будь-якому значенні аргументу на досліджуваному відрізку хlt; х похідна повинна бути позитивною, а при хgt; х - негативною.
4
Для знаходження х вирішите рівняння Y `= 0. Значення Y (х ) буде локальним максимумом, якщо друга похідна функції в цій точці менше нуля. Знайдіть другу похідну Y", Підставте в отриманий вираз значення аргументу х = х і порівняйте результат обчислень з нулем.
5
Наприклад, функція Y = -x + x + 1 на відрізку від -1 до 1 має безперервну похідну Y `= - 2x + 1. При х = 1/2 похідна дорівнює нулю, причому при переході через цю точку похідна змінює знак з «+» на «-». Друга похідна функції Y"= -2. Побудуйте по точках графік функції Y = -x + x + 1 і перевірте, чи є точка з абсцисою х = 1/2 локальним максимумом на заданому відрізку числової осі.
Статті за темою "Як знаходити точку максимуму функції"
Оцініть, будь ласка статтю