Як обчислити криволінійний інтеграл
криволінійний інтеграл береться вздовж будь-якої плоскої або просторової кривої. Для обчислення прийняті формули, які дійсні при дотриманні певних умов.
1
Нехай на кривій в декартовій системі координат визначена функція F (x, y). Для інтегрування функції крива розбивається на відрізки довжиною, близькою до 0. Усередині кожного такого відрізка вибираються точки Mi з координатами xi, yi, визначаються значення функції в цих точках F (Mi) і множаться на довжини ділянок: F (M1)·- s1 + F (M2)·- s2 + ... F (Mn)·- sn = F (Mi)·- si при 1 I n.
2
Отримана сума називається криволінійної інтегральной сумою. відповідний інтеграл дорівнює межі від цієї суми:&int-F (x, y) ds = lim F (Mi)·- si = lim F (xi, yi)·- &radic- (( xi)²- + ( yi)²-) = lim F (xi, yi)·-&radic- (1 + ( yi / xi) ²-)·- xi = &int-F (x, y)·-&radic- (1 + (y `)²-) dx.
3
Прімер.Найдіте криволінійний інтеграл &int-x²-·-yds уздовж лінії y = ln x при 1 x e.Решеніе.По формулою:&int-x²-yds = &int-x²-·-&radic- (1 + ((ln x) `)²-) = &int-x²-·-&radic- (1 + 1 / x²-) = &int-x²- ·-&radic - ((1 + x² -) / x) = &int-x·-&radic- (1 + x²-) dx = 1/2·-&int-&radic- (1 + x²-) d (1 + x²-) = ·- (1 + x) ^ 3/2 = [1 x e] = 1/3· - ((1 + e² -) ^ 3/2 - 2 ^ 3/2) 7,16.
4
Нехай крива задана в параметричної формі x = (t), y = (t). Щоб обчислити криволінійний інтеграл, застосуємо вже відому формулу:&int-F (x, y) ds = lim F (Mi)·- si = lim F (xi, yi)·-&radic - (( xi)²- + ( yi)²-).
5
Підставивши значення x і y, отримаємо:&int-F (x, y) ds = lim F ( (ti), (ti))·-&radic- ( ²- (ti) + ²- (ti))·- ti = &int-F ( (t), (t))·-&radic- ( ²- + ²-) dt.
6
Прімер.Вичісліте криволінійний інтеграл &int-y²-ds, якщо лінія задана параметрично: x = 5·-cos t, y = 5·-sin t при 0 t / 2.Решеніе.ds = (25·-cos²- t + 25·-sin²- t) dt = 5dt.&int-y²-ds = &int-25·-sin²-t·-5dt = 125/2&int- (1 - cos 2t) dt = 125/2·- (t - sin 2t / 2) = [0 t / 2] = 125/2· - (( / 2 - 0) - (0 - 0)) = 125/2·- / 2 = 125·- / 4.
Статті за темою "Як обчислити криволінійний інтеграл"
Оцініть, будь ласка статтю