Як знайти медіану рівнобедреного трикутника
Трикутник називається рівнобедреним, якщо у нього є дві рівні сторони. Вони називаються бічними. Третя сторона називається підставою рівнобедреного трикутника. Такий трикутник має ряд специфічних властивостей. Медіани, проведені до бічних сторін, рівні. Таким чином в трикутник дві різні медіани, одна проведена до основи трикутника, друга - до бічної сторони.
1
Нехай дано трикутник ABC, який є рівнобедреним. Відомі довжини його збоку і підстави. Треба знайти медіану, опущену на підставу цього трикутника. У трикутник ця медіана є одночасно медіаною, бісектрисою і висотою. Завдяки цій властивості, знайти медіану до основи трикутника дуже просто. Скористайтеся теоремою Піфагора для прямокутного трикутника ABD: AB²- = BD²- + AD²-, де BD - шукана медіана, AB - бічна сторона (для зручності нехай вона дорівнює a), а AD - половина підстави (для зручності візьміть підставу рівним b). тоді BD²- = a²- - b²- / 4. Знайдіть корінь з цього виразу і отримаєте довжину медіани.
2
Трохи складніше йдуть справи з медіаною, проведеної до бічної сторони. Для початку покажіть обидві таких медіани на малюнку. Ці медіани рівні. Позначте бічну сторону буквою a, а підстава - b. Позначте рівні кути при підставі &alpha-. Кожна з медіан ділить бічну сторону на дві рівні частини a / 2. Позначте довжину шуканої медіани x.
3
За теоремою косинусів можна висловити будь-яку сторону трикутника через дві інші і косинус кута між ними. Запишемо теорему косинусів для трикутника AEC: AE²- = AC²- + CE²- - 2AC·-CE·-cos&ang-ACE. Або, що те ж, (3x)²- = (a / 2)²- + b²- - 2·-ab / 2·-cos&alpha- = a²- / 4 + b²- - ab·-cos&alpha-. За умовами завдання боку відомі, а ось кут при підставі немає, тому обчислення тривають.
4
Тепер застосуєте теорему косинусів до трикутника ABC, щоб знайти кут при підставі: AB²- = AC²- + BC²- - 2AC·-BC·-cos&ang-ACB. Іншими словами, a²- = a²- + b²- - 2ab·-cos&alpha-. тоді cos&alpha- = b / (2a). Підставте цей вираз в попереднє: x²- = a²- / 4 + b²- - ab·-cos&alpha- = a²- / 4 + b²- - ab·-b / (2a) = a²- / 4 + b²- - b²- / 2 = (a²- + 2b² -) / 4. Обчисливши корінь правої частини виразу, ви знайдете медіану, проведену до бічної сторони.
Статті за темою "Як знайти медіану рівнобедреного трикутника"
Оцініть, будь ласка статтю