Як знайти площу фігури обмеженою лініями
Геометричний сенс певного інтеграла - площа криволінійної трапеції. Щоб знайти площа фігури, обмеженої лініями, застосовується одна з властивостей інтеграла, яке полягає в адитивності площ, що інтегруються на одному і тому ж відрізку функцій.
1
За визначенням інтеграла, він дорівнює площі криволінійної трапеції, обмеженою графіком заданої функції. Там, де необхідно знайти площу фігури, обмеженої лініями, мова йде про кривих, заданих на графіку двома функціями f1 (x) і f2 (x).
2
Нехай на деякому інтервалі [a, b] задані дві функції, які визначені і неперервні. Причому одна з функцій графіку розташована вище іншої. Таким чином, утворюється візуальна фігура, обмежена лініями функцій і прямими x = a, x = b.
3
Тоді площа фігури можна виразити формулою, що інтегрує різниця функцій на інтервалі [a, b]. Обчислення інтеграла проводиться згідно із законом Ньютона-Лейбніца, згідно з яким результат дорівнює різниці первісної функції від граничних значень інтервалу.
4
Приклад 1.
Знайти площу фігури, обмеженою прямими лініями y = -1/3·-x - , x = 1, x = 4 і параболою y = -x²- + 6·-x - 5.
Знайти площу фігури, обмеженою прямими лініями y = -1/3·-x - , x = 1, x = 4 і параболою y = -x²- + 6·-x - 5.
5
Рішення.
Побудуйте графіки усіх ліній. Ви можете побачити, що лінія параболи знаходиться вище прямої y = -1/3·-x - . Отже, під знаком інтеграла в даному випадку повинна стояти різниця між рівнянням параболи і заданої прямої. Інтервал інтегрування, відповідно, знаходиться між точками x = 1 і x = 4:
S = &int - (- x²- + 6·-x - 5 - (-1/3·-x - 1/2)) dx = (-x²- +19/3·-x - 9/2) dx на відрізку [1, 4].
Побудуйте графіки усіх ліній. Ви можете побачити, що лінія параболи знаходиться вище прямої y = -1/3·-x - . Отже, під знаком інтеграла в даному випадку повинна стояти різниця між рівнянням параболи і заданої прямої. Інтервал інтегрування, відповідно, знаходиться між точками x = 1 і x = 4:
S = &int - (- x²- + 6·-x - 5 - (-1/3·-x - 1/2)) dx = (-x²- +19/3·-x - 9/2) dx на відрізку [1, 4].
6
Знайдіть первісну для отриманого подинтегрального вираження:
F (-x²- + 19 / 3x - 9/2) = -1 / 3x³- + 19 / 6x²- - 9 / 2x.
F (-x²- + 19 / 3x - 9/2) = -1 / 3x³- + 19 / 6x²- - 9 / 2x.
7
Підставте значення кінців відрізка:
S = (-1/3·-4³- + 19/6·-4²- - 9/2·-4) - (-1/3·-1³- + 19/6·-1²- - 9/2·-1) = 13.
S = (-1/3·-4³- + 19/6·-4²- - 9/2·-4) - (-1/3·-1³- + 19/6·-1²- - 9/2·-1) = 13.
8
Приклад 2.
Обчисліть площу фігури, обмеженої лініями y = (x + 2), y = x і прямий x = 7.
Обчисліть площу фігури, обмеженої лініями y = (x + 2), y = x і прямий x = 7.
9
Рішення.
Це завдання є більш складною у порівнянні з попередньою, оскільки в ній немає другої прямої, паралельної осі абсцис. Це означає, що друге граничне значення інтеграла невизначено. Отже, його потрібно знайти з графіка. Побудуйте задані лінії.
Це завдання є більш складною у порівнянні з попередньою, оскільки в ній немає другої прямої, паралельної осі абсцис. Це означає, що друге граничне значення інтеграла невизначено. Отже, його потрібно знайти з графіка. Побудуйте задані лінії.
10
Ви побачите, то пряма лінія y = x проходить діагонально щодо координатних осей. А графік функції кореня - це позитивна половина параболи. Очевидно, що лінії на графіку перетинаються, тому точка перетину і буде нижньою межею інтегрування.
11
Знайдіть точку перетину, вирішивши рівняння:
x = (x + 2) x²- = x + 2 [x -2] x²- - x - 2 = 0.
x = (x + 2) x²- = x + 2 [x -2] x²- - x - 2 = 0.
12
Визначте корені квадратного рівняння за допомогою дискримінанту:
D = 9 x1 = 2 x2 = -1.
D = 9 x1 = 2 x2 = -1.
13
Очевидно, що значення -1 не підходить, оскільки абсциса струми перетину - позитивна величина. Отже, другий межа інтегрування x = 2. Функція y = x на графіку вище функції y = (x + 2), тому в інтегралі вона буде першою.
Проінтегріруйте вийшло вираз на інтервалі [2, 7] і знайдіть площу фігури:
S = &int- (x - (x + 2)) dx = (x²- / 2 - 2/3·- (x + 2) ^ (3/2)).
Проінтегріруйте вийшло вираз на інтервалі [2, 7] і знайдіть площу фігури:
S = &int- (x - (x + 2)) dx = (x²- / 2 - 2/3·- (x + 2) ^ (3/2)).
14
Підставте інтервальні значення:
S = (7²- / 2 - 2/3·-9 ^ (3/2)) - (2²- / 2 - 2/3·-4 ^ (3/2)) = 59/6.
S = (7²- / 2 - 2/3·-9 ^ (3/2)) - (2²- / 2 - 2/3·-4 ^ (3/2)) = 59/6.
Статті за темою "Як знайти площу фігури обмеженою лініями"
Оцініть, будь ласка статтю