Як знаходити проміжки зростання та спадання

Відомо, що для зростаючої функції y = f (x) її похідна f `(x) gt; 0 і відповідно f` (x)

Приклад: знайдіть проміжки монотонності y = (x ^ 3) / (4-x ^ 2) .Рішення. Функція визначена на всій числовій осі, крім х = 2 і х = -2. Кормі того вона непарна. Дійсно, f (-x) = ((- x) ^ 3) / (4 - (- x) ^ 2) = - (x ^ 3) / (4-x ^ 2) = f (-x). Це означає, що f (x) симетрична щодо початку координат. Тому дослідження поведінку функції можна здійснити тільки для позитивних значень х, а потім добудувати негативну гілку симетрично положітельной.y `= (3 (x ^ 2) (4-x ^ 2) + 2x (x ^ 3)) / ((4 x ^ 2) ^ 2) = (x ^ 2) (12-x ^ 2) / ((4-x ^ 2) ^ 2) .y `- не існує при x = 2 і x = -2, але при цьому не існує і сама функція.

Тепер необхідно знайти інтервали монотонності функції. Для цього слід вирішити нерівність: (x ^ 2) (12-x ^ 2) / ((4-x ^ 2) ^ 2) gt; 0 або (x ^ 2) (x-2sqrt3) (x + 2sqrt3) ( (x-2) ^ 2) ((x + 2) ^ 2)) 0. Використовуйте метод інтервалів, при вирішенні нерівності. Тоді вийде (див. Рис.1).

Далі розгляньте поведінку функції на інтервалах монотонності, приєднуючи сюди все відомості з області негативних значень числової осі (в силу симетрії всі відомості там протилежні, в тому числі і по знаку) .f `(x) gt; 0 при -

Приклад 2. Знайти проміжки зростання і убування функції y = x + lnx / x.Решеніе. Область визначення функції - xgt; 0.y `= 1 + (1-lnx) / (x ^ 2) = (x ^ 2 + 1-lnx) / (x ^ 2). Знак похідної при xgt; 0 повністю визначається дужкою (x ^ 2 + 1-lnx). Так як x ^ 2 + 1gt; lnx, то y`gt; 0. Таким чином, функція зростає на всій своїй області визначення.

Приклад 3. Знайти інтервали монотонності функції y `= x ^ 4-2x ^ 2-5.Решеніе. y `= 4x ^ 3-4x = 4x (x ^ 2-1) = 4x (x-1) (x + 1). Застосовуючи метод інтервалів (див. Рис.2), необхідно знайти проміжки позитивних і негативних значень похідної. Використовуючи метод інтервалів, ви зможете швидко визначити, що на проміжках x0 функція зростає.