Як виділити квадрат двочлена
Метод виділення квадрата двочлена застосовується при спрощення громіздких виразів, а також для вирішення квадратних рівнянь. На практиці його зазвичай комбінують з іншими прийомами, включаючи розкладання на множники, угруповання тощо.
1
Метод виділення повного квадрата двочлена заснований на використанні двох формул скороченого множення многочленів. Ці формули є окремими випадками Біному Ньютона для другого ступеня і дозволяють спростити шукане вираз так, щоб можна було провести подальше скорочення або розкладання на множники:
(M + n)²- = m²- + 2·-m·-n + n²-;
(M - n)²- = m²- - 2·-m·-n + n²-.
(M + n)²- = m²- + 2·-m·-n + n²-;
(M - n)²- = m²- - 2·-m·-n + n²-.
2
Відповідно до цього методу з вихідного многочлена потрібно виділити квадрати двох одночленним і суму / різницю їх подвійного твори. Застосування цього методу має сенс, якщо старша ступінь доданків не менш 2. Припустимо, дано завдання розкласти на множники з пониженням ступеня такий вираз:
4·-y ^ 4 + z ^ 4
4·-y ^ 4 + z ^ 4
3
Для вирішення завдання потрібно скористатися методом виділення повного квадрата. Отже, вираз складається з двох одночленним зі змінними парного степеня. Отже, можна позначити кожен з них через m і n:
m = 2·-y²-- n = z²-.
m = 2·-y²-- n = z²-.
4
Тепер потрібно привести вихідне вираз до виду (m + n)²-. У ньому вже присутні квадрати цих доданків, але не вистачає подвійного твори. Потрібно додати його штучно, а потім відняти:
(2·-y²-)²- + 2·-2·-y²-·-z²- + (z²-)²- - 2·-2·-y²- ·-z²- = (2·-y²- + z²-)²- - 4·-y²-·-z²-.
(2·-y²-)²- + 2·-2·-y²-·-z²- + (z²-)²- - 2·-2·-y²- ·-z²- = (2·-y²- + z²-)²- - 4·-y²-·-z²-.
5
В отриманому виразі можна побачити формулу різниці квадратів:
(2·-y²- + z²-)²- - (2·-y·-z)²- = (2·-y²- + z²- - 2·-y·-z)·- (2·-y²- + z²- + 2·-y·-z).
(2·-y²- + z²-)²- - (2·-y·-z)²- = (2·-y²- + z²- - 2·-y·-z)·- (2·-y²- + z²- + 2·-y·-z).
6
Отже, метод складається з двох етапів: виділення одночленним повного квадрата m і n, прибуток і віднімання їх подвійного твори. Метод виділення повного квадрата двочлена може застосовуватися не тільки самостійно, але і в комбінації з іншими методами: винесення за дужки загального множника, заміна змінної, угруповання доданків і ін.
7
Приклад 2.
Виділіть повний квадрат у виразі:
4·-y²- + 2·-y·-z + z²-.
Рішення.
4·-y²- + 2·-y·-z + z²- = [m = 2·-y, n = z] = (2·-y)²- + 2·-2·-y·-z + (z) ²- - 2·-y·-z = (2·-y + z)²- - 2·-y·-z.
Виділіть повний квадрат у виразі:
4·-y²- + 2·-y·-z + z²-.
Рішення.
4·-y²- + 2·-y·-z + z²- = [m = 2·-y, n = z] = (2·-y)²- + 2·-2·-y·-z + (z) ²- - 2·-y·-z = (2·-y + z)²- - 2·-y·-z.
8
Метод застосовується при знаходженні коренів квадратного рівняння. Ліва частина рівняння являє собою тричлен виду a·-y + b·-y + c, де a, b і c - якісь числа, причому a 0.
a·-y + b·-y + c = a·- (y + (b / a)·-y) + c = a·- (y + 2·- (b / (2·-a))·-y) + c = a·- (y + 2·- (b / (2·-a))·-y + b / (4·-a )) + c - b / (4·-a) = a·- (y + b / (2·-a)) - (b - 4·-a·-c) / (4·-a).
a·-y + b·-y + c = a·- (y + (b / a)·-y) + c = a·- (y + 2·- (b / (2·-a))·-y) + c = a·- (y + 2·- (b / (2·-a))·-y + b / (4·-a )) + c - b / (4·-a) = a·- (y + b / (2·-a)) - (b - 4·-a·-c) / (4·-a).
9
Ці розрахунки призводять до поняття дискримінанту, який дорівнює (b - 4·-a·-c) / (4·-a), а корені рівняння рівні:
y_1,2 = ± (b / (2 • a)) ± ((b - 4·-a·-c) / (4·-a)).
y_1,2 = ± (b / (2 • a)) ± ((b - 4·-a·-c) / (4·-a)).
Статті за темою "Як виділити квадрат двочлена"
Оцініть, будь ласка статтю