Як знайти коріння кубічного рівняння
Для вирішення кубічних рівнянь (поліноміальних рівнянь третього ступеня) розроблено кілька методів. Найвідоміші з них засновані на застосуванні формул Вієта і Кардана. Але крім цих способів існує більш простий алгоритм знаходження коренів кубічного рівняння.
1
Розгляньте кубічне рівняння виду Ax³- + Bx²- + Cx + D = 0, де A&ne-0. Знайдіть корінь рівняння методом підбору. Візьміть до уваги, що один з коренів рівняння третього ступеня завжди є дільником вільного члена.
2
Знайдіть всі дільники коефіцієнта D, тобто всі цілі числа (позитивні і негативні), на які вільний член D ділиться без залишку. Підставте їх по черзі в вихідне рівняння на місце змінної x. Знайдіть те число x1, при якому рівняння звертається у вірне рівність. Воно і буде одним з коренів кубічного рівняння. Всього у кубічного рівняння три кореня (як речові, так і комплексні).
3
Розділіть многочлен на Ax³- + Bx²- + Cx + D на двочлен (x-x1). В результаті поділу вийде квадратний многочлен ax²- + bx + c, залишок буде дорівнює нулю.
4
Прирівняти отриманий многочлен до нуля: ax²- + bx + c = 0. Знайдіть коріння цього квадратного рівняння за формулами x2 = (- b +&radic- (b²--4ac)) / (2a), x3 = (- b-&radic- (b²--4ac)) / (2a). Вони також будуть корінням вихідного кубічного рівняння.
5
Розгляньте приклад. Нехай дано рівняння третього ступеня 2x³--11x²- + 12x + 9 = 0. A = 2&ne-0, а вільний член D = 9. Знайдіть всі дільники коефіцієнта D: 1, -1, 3, -3, 9, -9. Підставте ці подільники в рівняння замість невідомого x. Виходить, 2-1³--11-1²- + 12-1 + 9 = 12&ne-0- 2 - (- 1)³--11 - (- 1)²- + 12 - (- 1) + 9 = -16&ne-0- 2-3³--11-3²- + 12-3 + 9 = 0. Таким чином, один з коренів даного кубічного рівняння x1 = 3. Тепер розділіть обидві частини вихідного рівняння на двочлен (x-3). В результаті виходить квадратне рівняння: 2x²--5x-3 = 0, тобто a = 2, b = -5, c = -3. Знайдіть його коріння: X2 = (5 +&radic - ((- 5)²--4-2 - (- 3))) / (2-2) = 3, x3 = (5&radic - ((- 5)²--4-2 - (- 3))) / (2-2) = - 0,5. Таким чином, кубічне рівняння 2x³--11x²- + 12x + 9 = 0 має дійсні коріння x1 = x2 = 3 і x3 = -0,5.
Статті за темою "Як знайти коріння кубічного рівняння"
Оцініть, будь ласка статтю