Скористайтеся, наприклад, двома формулами обчислення площі трикутника, в одній з яких задіяні тільки три його відомих сторіни (формула Герона), а в іншій - дві сторіни і синус кута між ними. Використовуючи в другій формулі різні пари сторін, ви зможете визначити величини кожного з кутів трикутника.

Вирішіть задачу в загальному вигляді. Формула Герона визначає площу трикутника, як квадратний корінь з добутку напівпериметр (половини від суми всіх сторін) На різниці між напівпериметр і кожної з сторін. Якщо замінити периметр сумою сторін, то формулу можна записати в такому вигляді: S = 0,25&lowast-&radic- (a + b + c)&lowast- (b + c-a)&lowast- (a + c-b)&lowast- (a + b-c) .C інший сторіни площа трикутника можна виразити як половину твору двох його сторін на синус кута між ними. Наприклад, для сторін a і b з кутом &gamma- між ними цю формулу можна записати так: S = a&lowast-b&lowast-sin (&gamma-). Замініть ліву частину рівності формулою Герона: 0,25&lowast-&radic- (a + b + c)&lowast- (b + c-a)&lowast- (a + c-b)&lowast- (a + b-c) = a&lowast-b&lowast-sin (&gamma-). Виведіть з цієї рівності формулу для синуса кута &gamma-: sin (&gamma -) = 0,25&lowast-&radic- (a + b + c)&lowast- (b + c-a)&lowast- (a + c-b)&lowast- (a + b-c) / (a&lowast-b&lowast-)

Аналогічні формули для двох інших кутів:
sin (&alpha -) = 0,25&lowast-&radic- (a + b + c)&lowast- (b + c-a)&lowast- (a + c-b)&lowast- (a + b-c) / (b&lowast-c&lowast-)
sin (&beta -) = 0,25&lowast-&radic- (a + b + c)&lowast- (b + c-a)&lowast- (a + c-b)&lowast- (a + b-c) / (a&lowast-c&lowast-) Замість цих формул можна скористатися теоремою синусів, з якої випливає, що співвідношення сторін і синусів протилежних їм кутів в трикутнику рівні. Тобто, обчисливши в попередньому кроці синус одного з кутів, можна знайти синус іншого кутка за простішою формулою: sin (&alpha -) = sin (&gamma-)&lowast-a / c. А виходячи з того, що сума кутів в трикутнику дорівнює 180 °, третій кут можна розрахувати ще простіше: &beta- = 180 ° -&alpha--&gamma-.

Використовуйте, наприклад, стандартний калькулятор Windows для знаходження величин кутів в градусах після того, як за формулами розрахуєте значення синусів цих кутів. Щоб це зробити, застосовуйте тригонометричну функцію, зворотну синусу - арксинус.

Використовуйте для обчислення величин кутів (&alpha-, &beta-, &gamma-) визначення тригонометричних функцій через прямокутний трекутник. Таке визначення, наприклад, для синуса гострого кута формулюється як відношення довжини протилежного катета до довжини гіпотенузи. Значить, якщо відомі довжини катетів (A і B) і гіпотенузи (C), то знайти, наприклад, синус кута &alpha-, лежачого навпроти катета A можна, розділивши довжину боку А на довжину боку C (гіпотенузи): sin (&alpha -) = A / C. Дізнавшись значення синуса цього кута можна знайти його величину в градусах, використавши зворотний синусу функцію - арксинус. Тобто &alpha- = arcsin (sin (&alpha -)) = arcsin (A / C). Таким же способом можна знайти і величину іншого гострого кута в трекутнике, але в цьому немає необхідності. Так як сума всіх кутів трекутника завжди становить 180 °, а в прямокутному трекутнике один з кутів дорівнює 90 °, то величину третього кута можна порахувати як різниця між 90 ° і величиною знайденого кута: &beta- = 180 ° -90 ° -&alpha- = 90 ° -&alpha-.

Замість визначення синуса можна використовувати визначення косинуса гострого кута, яке формулюється як відношення довжини прилеглого до шуканого кутку катета до довжини гіпотенузи: cos (&alpha -) = B / C. І тут задійте зворотний тригонометричну функцію (арккосинус), щоб знайти величину кута в градусах: &alpha- = arccos (cos (&alpha -)) = arccos (B / C). Після цього, як і в попередньому кроці, залишиться знайти величину відсутнього кута: &beta- = 90 ° -&alpha-.

Можна скористатися аналогічним визначенням тангенса - він виражається співвідношенням довжини протилежного шуканого кутку катета до довжини катета прилеглого: tg (&alpha -) = A / B. Величину кута в градусах знову визначайте через зворотну тригонометричну функцію - арктангенс: &alpha- = arctg (tg (&alpha -)) = arctg (A / B). Формула величини відсутнього кута залишиться без змін: &beta- = 90 ° -&alpha-.