Як знайти суму коренів
Теорема Вієта встановлює прямий взаємозв`язок між країнами (х1 і х2) і коефіцієнтами (b і c, d) рівняння типу bx2 + cx + d = 0. C допомогою цієї теореми можна, не визначаючи значення коренів, порахувати їх суму, грубо кажучи, в розумі. В цьому немає нічого складного, головне - знати деякі правила.
Вам знадобиться
- - калькулятор;
- - папір для записів.
Інструкція
1
Наведіть до стандартного вигляду досліджуване квадратне рівняння, щоб всі коефіцієнти ступеня йшли по порядку убування, тобто спочатку вищий ступінь - х2, а в кінці нульова ступінь - х0. Рівняння прийме вигляд:
b * x2 + c * x1 + d * х0 = b * x2 + c * x + d = 0.
b * x2 + c * x1 + d * х0 = b * x2 + c * x + d = 0.
2
Перевірте неотрицательность дискримінанту. Це перевірка необхідна для того, щоб переконатися, що коріння у рівняння є. D (дискриминант) набирає вигляду:
D = c2 - 4 * b * d.
Тут є кілька варіантів. D - дискримінант - позитивний, що означає, що у рівняння є два кореня. D - дорівнює нулю, з цього випливає, що корінь є, але він подвійний, тобто х1 = х2. D - негативний, для курсу шкільної алгебри ця умова означає, що коріння немає, для вищої математики - коріння є, але вони комплексні.
D = c2 - 4 * b * d.
Тут є кілька варіантів. D - дискримінант - позитивний, що означає, що у рівняння є два кореня. D - дорівнює нулю, з цього випливає, що корінь є, але він подвійний, тобто х1 = х2. D - негативний, для курсу шкільної алгебри ця умова означає, що коріння немає, для вищої математики - коріння є, але вони комплексні.
3
Визначте суму коренів рівняння. За допомогою теореми Вієта це зробити просто: b * x2 + c * x + d = 0. Сума коренів рівняння прямо пропорційна «-c» і обернено пропорційна коефіцієнту «b». А саме, x1 + x2 = -c / b.
Визначте твір коренів за формулюванням - твір коренів рівняння прямо пропорційно «d» і обернено пропорційна до коефіцієнта «b»: х1 * х2 = d / b.
Визначте твір коренів за формулюванням - твір коренів рівняння прямо пропорційно «d» і обернено пропорційна до коефіцієнта «b»: х1 * х2 = d / b.
Рада 2: Як знайти суму коренів рівняння
Визначення суми коренів рівняння - один з необхідних кроків при вирішенні квадратних рівнянь (рівнянь виду ax²- + bx + c = 0, де коефіцієнти a, b і c - довільні числа, причому a 0) за допомогою теореми Вієта.
1
Запишіть квадратне рівняння у вигляді ax²- + bx + c = 0
приклад:
Початкове рівняння: 12 + x²- = 8x
Правильно записане рівняння: x²- - 8x + 12 = 0
2
Застосуйте теорему Вієта, згідно з якою, сума коренів рівняння дорівнюватиме числу "b", Взятому з протилежним знаком, а їх добуток - числу "c".
приклад:
В даному рівнянні b = -8, c = 12, відповідно:
x1 + x2 = 8
x1&lowast-x2 = 12
3
Дізнайтеся, позитивними або негативними числами є коріння рівнянь. Якщо і твір і сума коренів - позитивні числа, кожен з коренів - позитивне число. Якщо твір коренів - позитивне, а сума коренів - негативне число, то обидва кореня - Негативні. Якщо твір коренів - негативне, то коріння один корінь має знак "+", А інший знак "-" В такому випадку необхідно скористатися додатковим правилом: "Якщо сума коренів - позитивне число, більший за модулем корінь теж позитивний, а якщо сума коренів - негативне число - більший за модулем корінь - негативний".
приклад:
В даному рівнянні і сума, і твір - позитивні числа: 8 і 12, значить обидва кореня - позитивні числа.
4
Вирішіть отриману систему рівнянь шляхом підбору коренів. Зручніше буде почати підбір з множників, а потім, для перевірки, підставити кожну пару множників в друге рівняння і перевірити, чи відповідає сума даних коренів рішенням.
приклад:
x1&lowast-x2 = 12
Відповідними парами коренів будуть відповідно: 12 і 1, 6 і 2, 4 і 3
Перевірте отримані пари за допомогою рівняння x1 + x2 = 8. пари
12 + 1 &ne- 8
6 + 2 = 8
4 + 3 &ne- 8
Відповідно корінням рівняння є числа 6 і 8.
Зверніть увагу
В даному прикладі було розглянуто варіант квадратного рівняння, в якому a = 1. Для того щоб тим же способом вирішити повне квадратне рівняння, де a&ne 1, необхідно скласти допоміжне рівняння, привівши "a" до одиниці.
Корисна порада
Використовуйте цей спосіб вирішення рівнянь для того, щоб швидко знайти коріння. Також він допоможе в разі, якщо вам необхідно вирішити рівняння в розумі, не вдаючись до записів.
Зверніть увагу
Якщо ви отримали негативну дискримінант, це не означає, що коріння немає. Це означає, що корінням рівняння є так звані комплексні корені. Теорема Вієта застосовна і в цьому випадку, але її вигляд буде трохи змінений:
[-c + (- I) * (- c2 + 4 * b * d) 0.5] / [2b] = x1,2
[-c + (- I) * (- c2 + 4 * b * d) 0.5] / [2b] = x1,2
Корисна порада
Якщо ви зіткнулися не з квадратним рівнянням, а з кубічним або рівнянням ступеня n: b0 * xn + b1 * xn-1 + ... .. + bn = 0, то для обчислення суми або твори коренів рівняння ви точно так само можете скористатися теоремою Вієта :
1. -b1 / b0 = x1 + x2 + x3 + .... + Xn,
2. b2 / b0 = x1 * x2 + .... + Xn-1 * xn,
3. (-1) n * (bn / b0) = x1 * x2 * x3 * .... * Xn.
1. -b1 / b0 = x1 + x2 + x3 + .... + Xn,
2. b2 / b0 = x1 * x2 + .... + Xn-1 * xn,
3. (-1) n * (bn / b0) = x1 * x2 * x3 * .... * Xn.
Статті за темою "Як знайти суму коренів"
Оцініть, будь ласка статтю
Ще статті розділу