Як розрахувати похідну
Похідна певної функції розраховується методом диференціального обчислення. Похідна в даній точці показує швидкість зміни функції і дорівнює межі приросту функції до приросту аргументу.
1
Похідна функції - центральне поняття теорії диференціального обчислення. Визначення похідної через відношення межі приросту функції до приросту аргументу є найпоширенішим. Похідні можуть бути першого, другого і вищих порядків. Прийнято позначення похідної у вигляді знака апострофа, наприклад, F `(x). Друга похідна позначається F `` (x). Похідна n-го порядку - F ^ (n) (x), при цьому n - ціле число більше 0. Це метод позначення Лагранжа.
2
Похідна від функції декількох аргументів, отримана по одному з них, називається приватної похідною і є одним з елементів диференціала функції. Сума похідних одного порядку по всіх аргументів вихідної функції є її повним диференціалом цього порядку.
3
Розглянемо розрахунок похідної на прикладі диференціювання простої функції f (x) = x ^ 2. За визначенням: f `(x) = lim ((f (x) - f (x_0)) / (x - x_0)) = lim ((x ^ 2 - x_0 ^ 2) / (x - x_0)) = lim ((x - x_0) * (x + x_0) / (x - x_0)) = lim (x + x_0) .При тому, що x -gt; x_0 маємо: f `(x) = 2 * x_0.
4
Для полегшення знаходження похідної існують правила диференціювання, що дозволяють прискорити час розрахунку. Основні правила такі: • C `= 0, де C - константа- • x` = 1 • (f + g) `- f` + g`- • (f * g) `= f` * g + f * g`- • (C * f) `= C * f`- • (f / g)` = (f `* g - f * g`) / g ^ 2.
5
Для знаходження похідної n-го порядку використовується формула Лейбніца: (f * g) ^ (n) =? C (n) ^ k * f ^ (n-k) * g ^ k, де C (n) ^ k - біноміальні коефіцієнти.
6
Похідні деяких найпростіших і тригонометричних функцій: • (x ^ a) `= a * x ^ (a-1) - • (a ^ x)` = a ^ x * ln (a) - • (sin x) `= cos x- • (cos x) `= - sin x- • (tg x)` = 1 / cos ^ 2 x- • (ctg x) `= - 1 / sin ^ 2 x.
7
Розрахунок похідної складної функції (композиції двох або більше функцій): f `(g (x)) = f`_g * g`_x.Ета формула дійсна тільки в разі, якщо функція g дифференцируема в точці x_0, а функція f має похідну в точці g (x_0).
Статті за темою "Як розрахувати похідну"
Оцініть, будь ласка статтю