Питання про з`ясування виду кривої другого порядку - швидше якісна, ніж кількісне завдання. У самій загальній випадку рішення може починатися з заданого рівняння лінії другого порядку (див. Рис. 1). У цьому рівнянні всі коефіцієнти - деякі постійні числа. Якщо забули рівняння еліпса, гіперболи і параболи в канонічному вигляді, подивіться їх в додаткових джерелах до цієї статті або будь-якому підручнику.

Порівняйте загальне рівняння з кожним з тих канонічних. Неважко зробити висновок, що якщо коефіцієнти A 0, С 0, і їх знак однаковий, то після будь-якого перетворення, що приводить до канонічного вигляду, буде отриманий еліпс. Якщо знак різний - гіпербола. Парабола ж буде відповідати ситуації, коли коефіцієнти або А або С (але не обидва відразу) дорівнюють нулю. Таким чином, відповідь отримана. Тільки ось числових характеристик немає, крім тих коефіцієнтів, що є в конкретному умови задачі.

Є ще один спосіб отримання відповіді на поставлене запитання. Це застосування загального полярного рівняння кривих другого порядку. Це означає, що в полярних координатах все три, укладаються в канон криві (для декартових координат) записуються практично одним і тим же рівнянням. І хоча це в канон і не вкладається - тут можливо список кривих другого порядку розширювати необмежено (апліката Бернуллі, фігура Ліссажу і т. Д.).

Обмежимося еліпсом (в основному) і гіперболою. Парабола виникне автоматично, як випадок проміжний. Справа в тому, що спочатку еліпс визначався як геометричне місце точок, для яких сума фокальних радіусів r1 + r2 = 2a = const. Для гіперболи | r1-r2 | = 2a = const. Покладіть фокуси еліпса (гіперболи) F1 (-c, 0), F2 (c, 0). Тоді фокальні радіуси еліпса рівні (див. Рис. 2а). Для правої галузі гіперболи дивіться малюнок 2b.

Полярні координати = ( ) слід вводити, використовуючи фокус, як полярний центр. Тоді можна покласти = r2 і після незначних перетворень отримаєте для правих ділянок еліпса і параболи полярні рівняння (див. Рис. 3). При цьому а - велика піввісь еліпса (уявна для гіперболи), з - абсциса фокуса, про параметр b - на малюнку.

Наведена на формулах малюнка 2 величина називається ексцентриситетом. З формул малюнка 3 випливає, що всі інші величини з нею будь-яким чином пов`язані. І дійсно, оскільки пов`язана з усіма головними кривими другого порядку, то на її основі і можна приймати основні рішення. А саме, якщо 1 - гіпербола. = 1 - парабола. Це має і більш глибокий сенс. В куди як вкрай складному курсі «Рівняння математичної фізики» класифікація диференціальних рівнянь з приватними похідними проводиться на цій же основі.

Наведіть рівняння кривої до канонічності увазі. Розгляньте канонічний вид рівняння для різних кривих другого порядку: парабола y²- = 2px; гіпербола x²- / q² - y²- / h²- = 1 еліпс x²- / q²- + y²- / h²- = 1 дві пересічні прямі x²- / q² - y²- / h²- = 0 точка x²- / q²- + y²- / h²- = 0- дві паралельні прямі x²- / q²- = 1, одна пряма x²- = 0- уявний еліпс x²- / q²- + y²- / h² - = - 1.

Обчисліть інваріанти: &Delta-, D, S, B. Для кривої другого порядку &Delta- визначає, чи є крива істинної - невироджених або граничним випадком однією із справжніх - виродження. D визначає симетрію кривої.

Визначте, чи є крива вироджених. Розрахуйте &Delta-. &Delta- = afk-agg-bbk + bgc + cbg-cfc. якщо &Delta- = 0, то крива вироджена, якщо &Delta- не дорівнює нулю, то невироджених.

З`ясуйте характер симетрії кривої. Обчисліть D. D = a * f-b²-. Якщо він не дорівнює нулю, то крива має центр симетрії, якщо дорівнює, то, відповідно, не має.

Обчисліть S і B. S = a + f. Інваріант В дорівнює сумі двох квадратних матриць: перша зі стовпцями a, c і c, k, друга зі стовпцями f, g і g, k.

Визначте тип кривої. Розгляньте вироджені криві, коли &Delta- = 0. Якщо Dgt; 0, то це точка. якщо D

Розгляньте невироджені криві - це еліпс, гіпербола і парабола. Якщо D = 0, то це парабола, її рівняння y²- = 2px, де pgt; 0. Якщо D0. Якщо Dgt; 0, а S0, hgt; 0. Якщо Dgt; 0, а Sgt; 0, то це уявний еліпс - немає жодної точки на площині.

Виберіть тип кривої другого порядку, який вам підходить. Наведіть вихідне рівняння, якщо потрібно, до канонічного вигляду.

Розгляньте для прикладу рівняння y²--6x = 0. Отримайте коефіцієнти, виходячи з рівняння ax²- + fy²- + 2bxy + 2cx + 2gy + k = 0. Коефіцієнти f = 1, c = 3, а інші коефіцієнти a, b, g, k дорівнюють нулю.

Обчисліть величини &Delta- і D. Отримайте &Delta - = - 3 * 1 * 3 = -9, а D = 0. Це означає, що крива невироджена, так як &Delta- не дорівнює нулю. Оскільки D = 0, то крива не має центру симетрії. За сукупністю ознак, рівняння є параболою. y²- = 6x.