Загальний зміст похідної
Похідна функції - це межа, до якого прагне відношення приросту значення функції до приросту аргументу при прагненні останнього до нуля. Для непідготовленої людини звучить вкрай абстрактно. Якщо розібратися, буде видно, що це не так.
Для того щоб знайти похідну функції, візьміть довільну функцію - залежність «Ігрека» від «ікси». Замініть в вираженні цієї функції її аргумент на приріст аргументу і розділіть отриманий вираз на саме прирощення. Ви отримаєте дріб. Далі необхідно провести операцію межі. Для цього потрібно спрямувати приріст аргументу до нуля і поспостерігати, до чого кинеться в цьому випадку ваша дріб. Та кінцева, як правило, величина і буде похідною функції. Зверніть увагу, що в вираженні для похідної функції вже не буде ніяких збільшень, бо ви спрямували їх нулю, тому залишиться тільки сама змінна і (або) константа.
Отже, похідна - це відношення приросту функції до приросту аргументу. Який же сенс такої величини? Якщо ви, наприклад, знайдете похідну лінійної функції, то ви побачите, що вона постійна. Причому ця константа в вираженні самої функції просто множиться на аргумент. Далі, якщо ви побудуєте графік даної функції при різних значеннях похідною, просто міняючи її раз по раз, то ви помітите, що при великих її значеннях нахил прямої стає більше, і навпаки. Якщо ж ви маєте справу не з лінійною функцією, то значення похідної в цій точці скаже вам про нахил дотичної, проведеної в даній точці функції. Таким чином, значення похідної функції говорить про швидкість росту функції в даній точці.
Фізичний зміст похідної
Тепер, щоб зрозуміти фізичний зміст похідної, досить просто замінити вашу абстрактну функцію на будь-яку фізично обгрунтовану. Наприклад, нехай ви маєте залежність шляху переміщення тіла від часу. Тоді похідна від такої функції скаже вам про швидкість переміщення тіла. Якщо ви отримаєте значення постійне, то можна буде говорити про те, що тіло переміщається рівномірно, тобто з постійною швидкістю. Якщо ж ви отримаєте вираз для похідної, лінійно залежне від часу, то стане зрозуміло, що рух равноускоренное, бо друга похідна, тобто похідна даної похідної, буде постійною, що фактично означає сталість швидкості швидкості тіла, а це і є його прискорення. Ви можете підібрати будь-яку іншу фізичну функцію і побачити, що її похідна дасть вам певний фізичний зміст.
