Як продифференцировать функцію
Операція диференціювання функцій вивчається в математиці, будучи одним з фундаментальних її понять. Однак застосовується вона також і в природничих науках, наприклад, у фізиці.
1
Метод диференціювання застосовується для знаходження функції, похідної від вихідної. Похідна функція - це відношення межі приросту функції до приросту аргументу. Це найпоширеніше уявлення похідною, яку прийнято позначати знаком апострофа « `». Можливо неодноразове диференціювання функції, при цьому утворюються перша похідна f `(x), друга f` `(x) і т.д. Похідні вищих порядків позначають f ^ (n) (x).
2
щоб продифференцировать функцію, можна скористатися формулою Лейбніца: (f * g) ^ (n) = C (n) ^ k * f ^ (n-k) * g ^ k, де C (n) ^ k- прийняті біноміальні коефіцієнти. Найпростіший випадок першої похідної легше розглянути на конкретному прикладі: f (x) = x ^ 3.
3
Отже, за визначенням: f `(x) = lim ((f (x) - f (x_0)) / (x - x_0)) = lim ((x ^ 3 - x_0 ^ 3) / (x - x_0)) = lim ((x - x_0) * (x ^ 2 + x * x_0 + x_0 ^ 2) / (x - x_0)) = lim (x ^ 2 + x * x_0 + x_0 ^ 2) при x, що прагне до значення x_0.
4
Позбавляємося від знака межі, підставляючи в отримане вираз значення x, рівне x_0. Отримуємо: f `(x) = x_0 ^ 2 + x_0 * x_0 + x_0 ^ 2 = 3 * x_0 ^ 2.
5
Розглянемо диференціювання складних функцій. Такими функціями є композиціями або суперпозиціями функцій, тобто результат однієї функції є аргументом для іншої: f = f (g (x)).
6
Похідна такої функції має вигляд: f `(g (x)) = f` (g (x)) * g `(x), тобто дорівнює добутку старшої функції по аргументу молодшої на похідну молодшої функції.
7
Щоб продифференцировать композицію з трьох і більше функцій, застосовують той же правило за наступним принципом: f `(g (h (x))) = f` (g (h (x))) * (g (h (x))) `= f` (g (h (x))) * g `(h (x)) * h` (x).
8
Знання похідних деяких найпростіших функцій є хорошою підмогою у вирішенні завдань на диференціальне числення: - похідна константи дорівнює 0-- похідна найпростішої функції аргументу в першого ступеня x `= 1-- похідна суми функцій дорівнює сумі їх похідних: (f (x) + g (x)) `= f` (x) + g `(x) - аналогічно похідна твори дорівнює добутку проізводних-- похідна приватного двох функцій: (f (x) / g (x))` = (f `(x ) * g (x) - f (x) * g `(x)) / g ^ 2 (x) - (C * f (x))` = C * f `(x), де C - константа- - при диференціюванні ступінь одночлена виноситься у вигляді множника, а сама ступінь знижується на 1: (x ^ a) `= a * x ^ (a-1) - тригонометричні функції sinx і cosx в диференціальному численні носять відповідно непарний і парний характер - (sinx) `= cosx і (cosx)` = - sinx-- (tg x) `= 1 / cos ^ 2 x-- (ctg x)` = - 1 / sin ^ 2 x.
Статті за темою "Як продифференцировать функцію"
Оцініть, будь ласка статтю