Як знайти похідну першого порядку
Поняття похідної, що характеризує швидкість зміни функції, є основним у диференціальному численні. Похідною функції f (x) в точці x0, називається такий вираз: lim (x x0) (f (x) - f (x0)) / (x - x0), тобто межа до якого прагне відношення приросту функції f в цій точці (f (x) - f (x0)) до відповідного приросту аргументу (x - x0).
1
Щоб знайти похідну першого порядку, користуйтеся наступними правилами диференціювання.
По-перше, на забувайте найпростіші з них - похідна константи дорівнює 0, а похідна змінної дорівнює 1. Наприклад: 5 `= 0, x` = 1. А також пам`ятайте про те, що константу можна виносити з-під знака похідної. Наприклад, (3 * 2 ^ x) `= 3 * (2 ^ x)`. Зверніть увагу на ці прості правила. Дуже часто, вирішуючи приклад, можна не врахувати "окремо стоїть" змінну і не продифференцировать її (наприклад, в прикладі (x * sin x / ln x + x) це остання змінна x).
2
Наступне правило - похідна суми: (x + y) `= x` + y `. Розгляньте наступний приклад. Нехай необхідно знайти похідну першого порядку (x ^ 3 + sin x) `= (x ^ 3)` + (sin x) `= 3 * x ^ 2 + cos x. У цьому і наступних прикладах після спрощення вихідного вираження користуйтеся таблицею похідних функцій, яку можна знайти, наприклад, в зазначеному додатковому джерелі. Згідно з цією таблицею для наведеного вище прикладу вийшло, що похідна x ^ 3 = 3 * x ^ 2, а похідна функції sin x дорівнює cos x.
3
Також під час перебування похідною функції часто використовується правило похідною твори: (x * y) `= x` * y + x * y `. Приклад: (x ^ 3 * sin x) `= (x ^ 3)` * sin x + x ^ 3 * (sin x) `= 3 * x ^ 2 sin x + x ^ 3 * cos x. Далі в цьому прикладі можна винести множник x ^ 2 за дужки: x ^ 2 * (3 * sin x + x * cos x). Вирішіть складніший приклад: знайдіть похідну виразу (x ^ 2 + x + 1) * cos x. В даному випадку діяти потрібно також, тільки замість першого множника виступає квадратний тричлен, диференційовних за правилом похідної суми. ((X ^ 2 + x + 1) * cos x) `= (x ^ 2 + x + 1)` * cos x + (x ^ 2 + x + 1) * (cos x) `= (2 * x + 1) * cos x + (x ^ 2 + x + 1) * (- sin x).
4
Якщо необхідно знайти похідну приватного двох функцій, скористайтеся правилом похідної приватного: (x / y) `= (x`y - y`x) / y ^ 2. Приклад: (sin x / e ^ x) = ((sin x) `* e ^ x - (e ^ x)` * sin x) / e ^ (2 * x) = (cos x * e ^ x - e ^ x * sin x) / e ^ (2 * x) = e ^ x * (cos x + sin x) / e ^ (2 * x) = (cos x + sin x) / e ^ x.
5
Нехай є складна функція, наприклад sin (x ^ 2 + x + 1). Для того, щоб знайти її похідну, необхідно застосувати правило для похідної складної функції: (x (y)) `= (x (y))` * y `. Тобто спочатку береться похідна «зовнішньої функції», і результат множиться на похідну внутрішньої функції. У даній прикладі (sin (x ^ 2 + x + 1)) `= cos (x ^ 2 + x + 1) * (2 * x + 1).
Корисна порада
Зворотний процес до диференціювання - це інтегрування. Якщо ви добре їм володієте, то можете зробити перевірку - проінтегріруйте вийшов результат і порівняйте з вихідним виразом. Результати повинні зійтися.
Статті за темою "Як знайти похідну першого порядку"
Оцініть, будь ласка статтю