Як знайти повний диференціал функції
f (x, y) - f (x_0, y_0) = f`_x (x, y) * (x - x_0) + f`_y (x, y) * (y - y_0) + , де - нескінченно мала величина ( 0), яка ігнорується при визначенні похідної, оскільки lim = 0.
Геометричний сенс повного диференціала функції двох аргументів - це тривимірний аналог геометричного сенсу диференціала функції одного аргументу, тобто це збільшення аппликати (z) дотичної площини до поверхні, рівняння якої задано дифференцируемой функцією.
z = ( z / x) dx + ( z / y) dy, де z / x - похідна функції z по аргументу x, z / y - похідна функції z по аргументу y.
Кажуть, що функція f (x, y) диференційовна в точці (x, y), якщо при таких значеннях x і y можна визначити повний диференціал цієї функції.
Вираз ( z / x) dx + ( z / y) dy і є лінійна частина приросту вихідної функції, де ( z / x) dx - диференціал функції z по x, а ( z / y) dy - диференціал по y. При диференціюванні по одному з аргументів передбачається, що інший аргумент або аргументи (якщо їх декілька) - постійні величини.
Знайдіть повний диференціал наступної функції: z = 7 * x ^ 2 + 12 * y - 5 * x ^ 2 * y ^ 2.
Рішення.
Використовуючи припущення, що y - постійна величина, знайдіть приватну похідну по аргументу x,
z / x = (7 * x ^ 2 + 12 * y - 5 * x ^ 2 * y ^ 2) `dx = 7 * 2 * x + 0 - 5 * 2 * x * y ^ 2 = 14 * x - 10 * x * y ^ 2;
Використовуючи припущення, що x - постійна величина, знайдіть приватну похідну по аргументу y:
z / y = (7 * x ^ 2 + 12 * y - 5 * x ^ 2 * y ^ 2) `dy = 0 + 12 - 5 * 2 * x ^ 2 * y = 12 - 10x ^ 2 * y.
dz = ( z / x) dx + ( z / y) dy = (14 * x - 10 * x * y ^ 2) dx + (12 - 10x ^ 2 * y).