Як шукати похідну
Диференціювання функцій, тобто знаходження їх похідних - основа основ математичного аналізу. Саме з відкриття похідних, власне, і почався розвиток цієї галузі математики. У фізиці, а також і в інших дисциплінах, що мають справу з процесами, диференціювання грає найважливішу роль.
1
У найпростішому визначенні, похідною від функції f (x) в точці x0 називається границя відношення приросту цієї функції до приросту її аргументу, якщо приріст аргументу прямує до нуля. У певному сенсі, похідна позначає швидкість зміни функції в даній точці.
Збільшення в математиці позначаються літерою . Приріст функції y = f (x0 + x) - f (x0). Тоді похідна буде дорівнює f `(x0) = lim ( y / x), x 0 = y / x. Знак позначає нескінченно малий приріст, або диференціал.
Збільшення в математиці позначаються літерою . Приріст функції y = f (x0 + x) - f (x0). Тоді похідна буде дорівнює f `(x0) = lim ( y / x), x 0 = y / x. Знак позначає нескінченно малий приріст, або диференціал.
2
Функція g (x), для якої в будь-якій точці x0 її області визначення g (x0) = f `(x0) називається похідною функцією, або просто похідною, і позначається f` (x).
3
щоб обчислити похідну заданої функції, можна, виходячи з її визначення, порахувати межа відносини ( y / x). При цьому найкраще перетворити цей вислів так, щоб x можна було в результаті просто опустити.
Наприклад, припустимо, що вам потрібно знайти похідну від функції f (x) = x ^ 2. y = (x + x) ^ 2 - x ^ 2 = 2x x + x ^ 2. Це означає, що межа відносини y / x дорівнює межі вираження 2x + x. Очевидно, що якщо x прямує до нуля, то цей вислів прагне до 2x. Отже, (x ^ 2) `= 2x.
Наприклад, припустимо, що вам потрібно знайти похідну від функції f (x) = x ^ 2. y = (x + x) ^ 2 - x ^ 2 = 2x x + x ^ 2. Це означає, що межа відносини y / x дорівнює межі вираження 2x + x. Очевидно, що якщо x прямує до нуля, то цей вислів прагне до 2x. Отже, (x ^ 2) `= 2x.
4
Безпосереднім обчисленням знаходять базові, т.зв. табличні похідні. При вирішенні завдань на знаходження похідних потрібно завжди намагатися звести задану похідну до табличних.
5
Похідна будь константи завжди дорівнює нулю: (C) `= 0.
6
Для будь-якого p gt; 0 похідна від функції x ^ p дорівнює p * x ^ (p-1). якщо p lt; 0, то (x ^ p) `= -1 / (p * x ^ (p + 1)). Наприклад, (x ^ 4) `= 4x ^ 3, а (1 / x)` = -1 / (x ^ 2).
7
якщо a gt; 0 і a 1, то (a ^ x) `= (a ^ x) * ln (a). З цього, зокрема, випливає, що (e ^ x) `= e ^ x.
Похідна логарифма x за основою a дорівнює 1 / (x * ln (a)). Таким чином, (ln (x)) `= 1 / x.
Похідна логарифма x за основою a дорівнює 1 / (x * ln (a)). Таким чином, (ln (x)) `= 1 / x.
8
Похідні тригонометричних функцій пов`язані між собою простим співвідношенням:
(Sin (x)) `= cos (x) - (cos (x))` = -sin (x).
(Sin (x)) `= cos (x) - (cos (x))` = -sin (x).
9
Похідна суми функцій дорівнює сумі похідних: (f (x) + g (x)) `= f` (x) + g `(x).
10
Якщо u (x) і v (x) - функції, у яких є похідні, то (u * v) `= u` * v + u * v `. Наприклад, (x * sin (x)) `= x` * sin (x) + x * (sin (x)) `= sin (x) + x * cos (x).
Похідна від приватного u / v дорівнює (u `* v - u * v`) / (v ^ 2). Наприклад, якщо f (x) = sin (x) / x, то f `(x) = (sin (x) - x * cos (x)) / (x ^ 2).
З цього, зокрема, випливає, що якщо k - константа, то (k * f (x)) `= k * f` (x).
Похідна від приватного u / v дорівнює (u `* v - u * v`) / (v ^ 2). Наприклад, якщо f (x) = sin (x) / x, то f `(x) = (sin (x) - x * cos (x)) / (x ^ 2).
З цього, зокрема, випливає, що якщо k - константа, то (k * f (x)) `= k * f` (x).
11
Якщо дана функція, яку можна представити у вигляді f (g (x)), то f (u) називається зовнішньої функцією, а u = g (x) - внутрішньої. Тоді f (g (x)) `= f` (g (x)) * g `(x).
Наприклад, якщо дана функція f (x) = sin (x) ^ 2, то f `(x) = 2 * sin (x) * cos (x). Тут квадрат - зовнішня функція, а синус - внутрішня. З іншого боку, sin (x ^ 2) `= cos (x ^ 2) * 2x. У цьому прикладі синус - зовнішня функція, а квадрат - внутрішня.
Наприклад, якщо дана функція f (x) = sin (x) ^ 2, то f `(x) = 2 * sin (x) * cos (x). Тут квадрат - зовнішня функція, а синус - внутрішня. З іншого боку, sin (x ^ 2) `= cos (x ^ 2) * 2x. У цьому прикладі синус - зовнішня функція, а квадрат - внутрішня.
12
Тим же шляхом, що і похідну, можна обчислити похідну від похідної. Така функція буде називатися другої похідної від f (x) і позначатися f "(x). Наприклад, (x ^ 3) "= (3x ^ 2) `= 6x.
Можуть існувати і похідні вищих порядків - третя, четверта і т.д.
Можуть існувати і похідні вищих порядків - третя, четверта і т.д.
Статті за темою "Як шукати похідну"
Оцініть, будь ласка статтю