Функція називається неперервною, якщо в її відображенні відсутні скачки при малих змінах аргументу між цими точками. Графічно така функція зображується суцільною лінією, без пропусків.
Інструкція
1
Доказ безперервності функції в точці здійснюється за допомогою так званих - -міркувань. - визначення звучить так: нехай x_0 належить множині X, тоді функція f (x) неперервна в точці x_0, якщо для будь-якого gt; 0 існує таке gt; 0, що з | x - x_0 | lt; слід | f (x) - f (x_0) | lt; . Функція неперервна на множині X, якщо вона неперервна в кожній його точці.
Інше визначення безперервності: функція f (x) є неперервною в точці x = x_0, якщо приріст функції в цій точці нескінченно мало. Тобто f (x) = f (x_0) + (x), де (x) - нескінченно мала величина при x, що прагне до x_0.
2
Приклад 1: доведіть безперервність функції f (x) = x ^ 2 в точці x_0.
Доведення
За - визначенням існує таке gt; 0, що | x ^ 2 - x_0 ^ 2 | lt; . Наведіть нерівність до наступного вигляду з невідомою величиною | x - x_0 |:
| x ^ 2 - x_0 ^ 2 | = | X ^ 2 - 2 * x * x_0 + x_0 ^ 2 + 2 * x_0 * x - 2 * x_0 ^ 2 | = | (X - x_0) ^ 2 + 2 * x_0 * (x - x_0) | lt; .
3
Вирішіть квадратне рівняння (x - x_0) ^ 2 + 2 * x_0 * (x - x_0) - = 0. Знайдіть дискримінант D = (4 * x_0 ^ 2 + 4 * ) = 2 * (| x_0 | ^ 2 + ). Тоді корінь дорівнює | x - x_0 | = (-2 * X_0 + 2 * (| x_0 | ^ 2 + )) / 2 = (| x_0 | ^ 2 + ). Отже, функція f (x) = x ^ 2 неперервна при | x - x_0 | = (| x_0 | ^ 2 + ) = .
4
Деякі елементарні функції є безперервними на всій області визначення (безлічі значень X):
f (x) = C (константа) - все тригонометричні функції - sin x, cos x, tg x, ctg x і ін.
5
Приклад 2: доведіть безперервність функції f (x) = sin x.
Доведення
За визначенням безперервності функції по її нескінченно малому приросту запишіть:
f = sin (x + x) - sin x.
6
Перетворіть за формулою для тригонометричних функцій:
f = 2 * cos ((x + x) / 2) * sin ( x / 2).
Функція cos обмежена при x 0, а межа функції sin ( x / 2) прагне до нуля, отже, вона є нескінченно малою при x 0. Твір обмеженою функції і нескінченно малоq величини, а значить і збільшення вихідної функції f також є нескінченною малою величиною. Отже, функція f (x) = sin x неперервна для будь-якого значення x.
Увага, тільки СЬОГОДНІ! Статті за темою "Як довести безперервність функції"