Як знайти максимальне значення функції
Нехай дана деяка функція, задана аналітично, тобто виразом вигляду f (x). Потрібно дослідити функцію і обчислити максимальне значення, яке вона приймає на заданому відрізку [a, b].
1
Перш за все потрібно встановити, чи визначена задана функція на всьому відрізку [a, b] і якщо у неї є точки розриву, то якого роду ці розриви. Наприклад, функція f (x) = 1 / x зовсім не має ні максимального, ні мінімального значення на відрізку [-1, 1], оскільки в точці x = 0 прагне до плюс нескінченності справа і до мінус нескінченності зліва.
2
Якщо задана функція - лінійна, тобто задана рівнянням виду y = kx + b, де k 0, то вона на всій своїй області визначення монотонно зростає, якщо k gt; 0- і монотонно убуває, якщо k lt; 0. Отже, максимальним її значенням на будь-якому заданому відрізку буде f (b), якщо k gt; 0- і f (a), якщо k lt; 0.
3
Наступний крок - дослідження функції на екстремуми. Навіть якщо встановлено, що f (a) gt; f (b) (або навпаки), функція може досягати великих значень в точці максимуму.
4
Щоб знайти точку максимуму, необхідно вдатися до допомоги похідної. Відомо, що якщо в точці x0 функція f (x) має екстремум (тобто максимум, мінімум або стаціонарну точку), то її похідна f `(x) в цій точці звертається в нуль: f` (x0) = 0.
Для визначення, який із трьох видів екстремуму знаходиться в виявленої точці, потрібно дослідити поведінку похідної в її околицях. Якщо вона змінює знак з плюса на мінус, тобто монотонно убуває, то в знайденої точці початкова функція має максимум. Якщо похідна змінює знак з мінуса на плюс, тобто монотонно зростає, то в знайденої точці початкова функція має мінімум. Якщо ж, нарешті, похідна не змінює знака, то x0 - це стаціонарна точка для вихідної функції.
5
У тих випадках, коли обчислити знаки похідної в околицях знайденої точки складно, можна скористатися другою похідною f `` (x) і визначити знак цієї функції в точці x0:
- якщо f `` (x0) gt; 0, то знайдена точка мінімуму;
- якщо f `` (x0) lt; 0, то знайдена точка максимуму;
- нарешті, якщо f `` (x0) = 0, то знайдена стаціонарна точка.
6
Для остаточного вирішення завдання необхідно вибрати максимальне з значень функції f (x) на кінцях відрізка і у всіх знайдених точках максимуму.
Статті за темою "Як знайти максимальне значення функції"
Оцініть, будь ласка статтю