Отже, почнемо з визначення безперервності. У ньому йдеться наступне:
Функція f (x), певна в деякій околиці точки a, називається безперервної в цій точці, якщо
lim f (x) = f (a)

x-gt; a

Розберемося, що це означає. По-перше, якщо функція не визначена в даній точці, то сенсу говорити про безперервність немає. Функція розривна і крапка. Наприклад, всім відома f (x) = 1 / x не існує в нулі (ділити на нуль ні в якому разі не можна), ось і розрив. Це ж торкнеться і більш складних функцій, в які не можна підставити деякі значення.

По-друге, є інший варіант. Якщо ми (або хтось для нас) склав функцію зі шматочків інших функцій. Наприклад, таку:
f (x) = x ^ 2-4, xlt; -1

3x, -1lt; = xlt; 3

5, xgt; = 3
У такому випадку нам треба зрозуміти, вона неперервна або розривна. Як це зробити?

Це варіант більш складний, тому що потрібно встановити безперервність на всій області визначення функції. В даному випадку областю визначення функції є вся числова вісь. Тобто від мінус-нескінченності до плюс-нескінченності.
Для початку скористаємося визначенням безперервності на проміжку. Ось воно:
Функцію f (x) називають неперервною на відрізку [a- b], якщо вона неперервна в кожній точці інтервалу (a- b) і, крім того, неперервна справа в точці a і зліва в точці b.

Отже, щоб визначити безперервність нашої складної функції, треба відповісти для себе на кілька запитань:
1. Чи визначені взяті функції на заданих інтервалах?
У нашому випадку відповідь позитивна.
Значить, точки розриву можуть бути лише в точках зміни функції. Тобто в точках 1 і 3.

2. Тепер потрібно досліджувати безперервність функції в цих точках. Ми вже знаємо, як це робиться.
Спершу потрібно знайти значення функції в цих точках: f (-1) = - 3, f (3) = 5 - функція визначена в цих точках.
Тепер потрібно знайти правий і лівий межі для цих точок.
lim f (-1) = - 3 (межа зліва існує)

x-gt; -1;
lim f (-1) = - 3 (межа праворуч існує)

x-gt; -1+
Як бачимо, правий і лівий межі для точки -1 збігаються. Значить, функція неперервна в точці -1.

Проробимо те ж саме для точки 3.
lim f (3) = 9 (межа існує)

x-gt; 3;
lim f (3) = 5 (межа існує)

x-gt; 3+
А тут межі не співпадають. Це означає, що в точці 3 функція розривна.
Ось і все дослідження. Бажаємо успіхів!

Знаходиться область визначення функції, тобто діапазон значень x, при яких функція приймає будь-яке значення.

Визначаються області безперервності і точки розриву. При цьому зазвичай області безперервності збігаються з областю визначення функції, необхідно досліджувати ліві і праві бокові вівтарі ізольованих точок.

Перевіряється наявність вертикальних асимптот. Якщо функція має розриви, то необхідно досліджувати кінці відповідних проміжків.

Парність і непарність функції перевіряється за визначенням. Функція y = f (x) називається парною, якщо для будь-якого x з області визначення вірно рівність f (-x) = f (x).

Функція перевіряється на періодичність. Для цього x змінюється на x + T і шукається найменше позитивне число T. Якщо таке число існує, то функція періодична, а число T - період функції.

Функція перевіряється на монотонність, знаходяться точки екстремуму. При цьому похідну функції прирівнюють до нуля, знайдені при цьому точки, виставляють на числової прямої і додають до них точки, в яких похідна не визначена. Знаки похідною на одержані проміжках визначають області монотонності, а точки переходу між різними областями є екстремумами функції.

Досліджується опуклість функції, знаходяться точки перегину. Дослідження проводиться аналогічно дослідженню на монотонність, але при цьому розглядається друга похідна.

Знаходяться точки перетину з осями OX і OY, при цьому y = f (0) - перетин з віссю OY, f (x) = 0 - перетин з віссю OX.

Визначаються межі на кінцях області визначення.

Будується графік функції.

За графіком визначається область значень і обмеженість функції.