Як знайти градієнт функції
градієнт функції - Векторна величина, перебування якої пов`язане з визначенням приватних похідних функції. Напрямок градієнта вказує шлях якнайшвидшого зростання функції від однієї точки скалярного поля до іншого.
1
Для вирішення завдання на градієнт функції використовуються методи диференціального обчислення, а саме знаходження приватних похідних першого порядку по трьом змінним. При цьому передбачається, що сама функція і всі її приватні похідні мають властивість безперервності в області визначення функції.
2
Градієнт - це вектор, напрям якого вказує напрямок максимально швидкого зростання функції F. Для цього на графіку вибираються дві точки M0 і M1, які є кінцями вектора. Величина градієнта дорівнює швидкості зростання функції від точки M0 до точці M1.
3
Функція диференційована у всіх точках цього вектора, отже, проекціями вектора на координатних осях є всі її приватні похідні. Тоді формула градієнта виглядає наступним чином: grad = ( F / х) • i + ( F / y) • j + ( F / z) • k, де i, j, k - координати одиничного вектора. Іншими словами, градієнт функції - це вектор, координатами якого є її приватні похідні grad F = ( F / х, F / y, F / z).
4
Прімер1.Пусть задана функція F = sin (х • z ) / y. Потрібно знайти її грaдіент в точці ( / 6, 1/4, 1).
5
Решеніе.Определіте приватні похідні по кожній змінній: F`_х = 1 / y • соs (х • z ) • z -F`_y = sin (х • z ) • (-1) • 1 / (y ) -F ` _z = 1 / y • соs (х • z ) • 2 • х • z.
6
Підставте відомі значення координат точки: F`_x = 4 • соs ( / 6) = 2 • 3- F`_y = sin ( / 6) • (-1) • 16 = -8- F`_z = 4 • соs ( / 6) • 2 • / 6 = 2 • / 3.
7
Застосуйте формулу градієнта функції: grаd F = 2 • 3 • i - 8 • j + 2 • / 3 • k.
8
Прімер2.Найдіте координати градієнта функції F = y • arсtg (z / x) в точці (1, 2, 1).
9
Решеніе.F`_х = 0 • аrсtg (z / х) + y • (аrсtg (z / х)) `_ х = y • 1 / (1 + (z / х) ) • (-z / х ) = -y • z / (х • (1 + (z / х) )) = -1-F`_y = 1 • аrсtg (z / х) = аrсtg 1 = / 4-F`_z = 0 • аrсtg (z / х) + y • (аrсtg (z / х)) `_ z = y • 1 / (1 + (z / х) ) • 1 / х = y / (х • (1 + (z / х ) )) = 1.grаd = (-1, / 4, 1).
Статті за темою "Як знайти градієнт функції"
Оцініть, будь ласка статтю