Як брати інтеграл
Поняття «взяття інтеграла»Тісно пов`язане з перебуванням первісної функції. Функція F (x) називається первісною до f (x), якщо її похідна F `(x) дорівнює f (x). Так як похідна будь константи дорівнює нулю, то і первісних у f (x) буде нескінченно багато. Всі вони збігаються між собою з точністю до константи. Традиційне позначення невизначеного інтеграла представлено на рис.1.
Вам знадобиться
- Таблиця найпростіших інтегралів.
Інструкція
1
У математиці існує досить велика кількість способів «взяти» інтеграл. У даній статті коротко розглянуті ті з них, які прийнято називати найпростішими прийомами інтегрування. Ці прийоми використовують властивості невизначених інтегралів і тотожні перетворення підінтегральної функції.
2
1. Безпосереднє інтегрірованіе.Непосредственное інтегрування полягає в обчисленні інтегралів за допомогою їх певних властивостей і спеціальних таблиць. Приклад 1. Обчислити інтеграл (4 / (cosx ^ 2) - 3cosx + 2 / (x-1)) dxРешеніе. (4 / (cosx ^ 2) - 3cosx + 2 / (x-1)) dx = 4 dx / (cosx ^ 2) - 3 cosxdx + 2 dx / (x-1) = 4tgx-3sinx + 2ln | x-1 | + C.
3
Тепер можна розглянути правило, яке дозволяє розширити можливості іcпользованія таблиці основних інтегралів. Якщо f (x) dx = F (x) + C, то f (kx + b) dx = (1 / k) F (kx + b) + CПрімер 2. sin (5x) dx = - (1 / 5) cos (5x) + C.
4
2. Розкладання підінтегральної функції. Даний прийом полягає в перетворенні підінтегральної функції, використовуючи формули алгебри і тригонометрії. Підінтегральна функція представляється у вигляді суми функцій, інтеграли від яких можна легко брать.Прімер 3. (1+ (cosx) ^ 2 / (1 + cos (2x)) dx = [1 + cos (2x) = 2 (cosx) ^ 2] = (1+ (cosx) ^ 2/2 (cosx) ^ 2) dx == (1/2) 1 / (cosx) ^ 2) dx + (1/2) dx = (1 / 2) (tgx + x) + C.Прімер 4. dx / ((sinx) ^ 2) (cosx) ^ 2)) = ((sinx) ^ 2 + (cosx) ^ 2) / ((sinx) ^ 2) (cosx) ^ 2)) dx = (1 / (cosx) ^ 2 + 1 / (sinx) ^ 2) dx = tgx-ctgx + C.
5
3. Підбиття під знак диференціала. Цей прийом заснований на властивості інваріантності формул інтегрування. Підінтегральна функція перетвориться до виду f (u (x)) u `(x), а потім співмножник u` (x) підводиться під знак диференціала (інтегрується) - u `(x) dx = d (u (x)), після чого застосовується формула (f (u (x)) du (x)) = u (x) + C.
6
Приклад 5. (arctgx / (1 + x ^ 2)) dx = | dx / (1 + x ^ 2) = d (arctgx) | = (arctgxd (arctgx)) = (1/2) (arctgx) ^ 2 + C.Прімер 6. xsqrt (1-x ^ 2) dx = | d (1-x ^ 2) = - 2xdx | = - (1/2) ((1-x ^ 2) ^ ( 1/2 + 1)) / (1/2 + 1) + C = - (1/3) sqrt ((1-x ^ 2) ^ 3) + C.Прімер 7. ((cosx) ^ 3) sin (2x) dx = 2 (cosx) ^ 3) cosxsinxdx = -2 ((cosx) ^ 4) d (cosx) = - (2/5) (cosx) ^ 5 + C.
Статті за темою "Як брати інтеграл"
Оцініть, будь ласка статтю
