Як обчислити кут між прямою і площиною
Пряма і площина - основні поняття геометрії. Ці двомірна і тривимірна фігури, які є основами для побудови будь-яких плоских і просторових конструкцій. Завжди можна обчислити кут між прямою і площиною по їх рівняннях.
1
Пряма і площина - два взаємопов`язаних геометричних поняття. Через будь-які дві точки площини можна провести пряму лінію, що складається з її ж точок. А будь-яка пряма належить будь-якої площини. Будь-яка фігура в геометрії - сукупність пересічних ліній і обмежених ними ділянок поверхні, від найпростіших трикутника і кола до нестандартних опуклих багатокутників і призм.
2
Для кожної прямої в просторі можна знайти проекцію на деяку площину. Таким чином, можна обчислити кут між ними, як суміжний до кута, утвореного векторами напрямку і нормалі. Наприклад, нехай задано канонічне рівняння прямої L і загальне рівняння площини P:
L: (х - х0) / p = (у - у0) / r = (z - z0) / s;
P: А • х + B • у + С • z + D = 0.
3
Коефіцієнти цих рівнянь - координати вектора напрямку прямої і вектора нормалі для площині. Тоді задача визначення кута між прямою лінією і її проекцією зводиться до пошуку суміжного кута між цими векторами. Суміжний кут в даній ситуації становить в сумі з шуканим 90 ° або / 2. Знайдіть косинус кута ( / 2 - ) за відомою формулою:
cos ( / 2 - ) = sin = | p • А + r • B + s • C | / ( (p + r + s ) • (А + B + C )).
4
Окремі випадки, коли цей кут дорівнює 90 ° або 180 °, є доказом їх перпендикулярності або паралельності. тоді:
• якщо А / p = B / r = С / s - пряма перпендикулярна площині;
• якщо А • р + B • r + С • s = 0 - пряма паралельна площині.
5
Приклад: знайти кут між прямою (х - 1) / 4 = (у + 3) / - 2 = (z - 8) / 1 і площиною 5 • х + 3 • у - 4 • z = 0.
Рішення
Випишіть координати вектора напрямку прямої - (4, -2, 1) і нормального вектора площини - (5, 3, 4). Підставте всі значення в формулу синуса кута:
sin = | 20 - 6 - 4 | / ( (16 + 4 + 1) • (25 + 9 + 16)) 0,3.
6
Обчисліть арксинус вийшла величини, щоб визначити шуканий кут :
= аrсsin 0,3 17,46 °.
Статті за темою "Як обчислити кут між прямою і площиною"
Оцініть, будь ласка статтю
Ще статті розділу