Як знайти кут між ребром і гранню

На малюнку 1 наочно проілюстровано, що необхідно шукати кут між прямою ребра s і її проекцією ф2. Однак для цього довелося б шукати ще й пряму, яка містить цю проекцію. Але завдання можна трохи спростити - знайти кут ф1 між нормаллю до площини грані і спрямовуючим вектором прямої ребра s. Тоді стає очевидно, що ф2 = п / 2 - ф1, тобто cosф1 = sinф2.

Для чисельного рішення задачі необхідно обчислити скалярний добуток векторів (a, b) ((a, b) = | a || b | cosф). В декартових координатах якщо а = {x1, y1, z1} і b = {x2, y2, z2}, то (a, b) = x1x2 + y1y2 + z1z2. При цьому скалярний квадрат вектора (а, а) = | a | ^ 2 = x1 ^ 2 + y1 ^ 2 + z1 ^ 2. Для вектора b - аналогічно. Тому | a || b | cos ф = x1х2 + у1y2 + z1z2. Отже, cosф = (x1x2 + y1y2 + z1z2) / (| a || b |).

Приклад. Нехай положення ребра описується канонічними рівняннями прямої s: (x-x0) / m = (y-y0) / n = (z-z0) / p, (x0, y0, z0) відома точка прямої (наприклад одна з вершин ребра) , вектор s = {m, n, p} - направляючий вектор s. Нехай площину межі б задана загальним рівнянням площини Ax + Вy + Cz + D = 0. Тоді її нормаль n = {A, B, C} .Для отримання однозначного рішення задачі буде досить задати вектори n і s. Далі знайдіть cosф1 = (mA + nB + pC) / [(m ^ 2 + n ^ 2 + p ^ 2) (A ^ 2 + B ^ 2 + C ^ 2)] ^ (1/2). З огляду на зазначене вище співвідношення, cosф1 = sinф2, відповідь можна записати у вигляді арксинуса: ф2 = arcsin (cosф1).

Якщо s = {3, 2, -1}, n = {2, 0,1}, то косинус кута меду німіcosф1 = (6-1) / [(9 + 4 + 1) (5 + 1)] ^ ( 1/2)] = 5 / [(14) 6)] ^ (1/2) = 5/2 (21) ^ (1/2) = 11,45. Відповідь: ф2 = arcsin (11,45).