Як знайти рівняння площини по трьом точкам

Відкрийте підручник з геометрії на чолі «Вектори» і повторіть основні принципи векторної алгебри. Для побудови площині за трьома точкам потрібно знання таких тем, як лінійний простір, ортонормованій базис, коллінеарність векторів, а також розуміння принципів лінійної алгебри.

Згадайте, що через три задані точки, якщо вони не лежать на одній прямій, можна провести тільки одну площину. Це означає, що наявність трьох конкретних точок в лінійному просторі вже однозначно визначає єдину площину.

Задайте в тривимірному просторі три точки, що мають різні координати: x1, y1, z1, x2, y2, z2, x3, y3, z3. Використовуватиметься загальне рівняння площини, що має на увазі популярність якої-небудь однієї точки, наприклад, точки з координатами x1, y1, z1, а також знання координат нормального до даної площини вектора. Таким чином, загальний принцип побудови площині буде полягати в тому, що скалярний твір будь-якого вектора, що лежить в площині, і нормального вектора має дорівнювати нулю. Звідси і виходить загальне рівняння площини a (x-x1) + b (y-y1) + c (z-z1) = 0, де коефіцієнти a, b і c - це компоненти вектора, перпендикулярного площині.

Як вектора, що лежить в самій площині, можете взяти будь-який вектор, побудований на будь-яких двох точках з тих трьох, що відомі спочатку. Координати даного вектора матимуть вигляд (x2-x1), (y2-y1), (z2-z1). Відповідний вектор можна назвати m2m1.

Визначте нормальний вектор n за допомогою векторного добутку двох векторів, що лежать в даній площині. Як відомо, векторне твір двох векторів - це завжди вектор, перпендикулярний обом векторах, за якими він будується. Таким чином, можна отримати новий вектор, перпендикулярний всій площині. В якості двох векторів, що лежать в площині, можна взяти будь-який з векторів m3m1, m2m1, m3m2, побудованих за тим же принципом, що і вектор m2m1.

Знайдіть векторний добуток векторів, що лежать в одній площині, визначивши таким чином нормальний вектор n. Пам`ятайте, що векторний добуток - це, фактично, визначник другого порядку, перший рядок якого містить орт i, j, k, другий рядок - компоненти першого вектора векторного твори, а третя - компоненти другого вектора. Розкривши визначник, ви отримаєте компоненти вектора n, тобто a, b і с, які і задають площину.