Навчіться використовувати координатної площиною. Основні труднощі можуть виникнути з негативними числами. Запам`ятайте, що всього є чотири квадранта: в першому розташовані позитивні значення, у другому - позитивні тільки по осі абсцис, в третьому - негативні по обох осях, а в четвертому негативні зберігаються тільки на осі абсцис. Ви можете довільно задавати напрямки координатних осей, але в математиці за традицією прийнято, щоб вісь ординат була спрямована вгору (відповідно, внизу розташовані негативні числа), а вісь абсцис йшла зліва направо (так само як і зміна негативних чисел через нуль на позитивні).

Зафіксуйте дані завдання. Вам потрібно знати координати точки, а також рівняння прямої, проекцію точки на яку необхідно знайти. Намалюйте креслення. Починайте з зображення координатної площині, позначення центру координат, осей і їх напрямки, а також одиничних відрізків. Виконавши цю дію, нанесіть на отриману площину дану вам точку, виходячи зі знання про її координатах, і проведіть задану пряму. Якщо ви хочете бути математично грамотним, ваша пряма повинна займати всю координатну площину, не виходячи за її межі, але і не завершаться до їх досягнення.

Опустіть перпендикуляр з даної точки на пряму. Знайти проекцію точки означає знайти координати точки перетину. Для цього проведіть через вихідну точку і точку перетину пряму. Ви отримаєте дві перпендикулярні прямі. Скористайтеся теоремою про те, що у двох перпендикулярних прямих відношення кутових коефіцієнтів є мінус одиниця.

Виходячи з цього, складіть систему рівнянь. Координати шуканої точки - (А, В), даної - (А1, В1), рівняння прямої - Сх + Е, рівняння проведеної прямої - (-С) х + К, де К поки невідомо. Перше рівняння: АС + Е = В. Воно вірно, так як шукана точка лежить на даній прямій. Друге рівняння: А1 (-С) + К = В1. І третє рівняння: А (С) + К = В. Маючи три лінійних рівняння з трьома невідомими (- А, В, К), ви легко вирішите поставлену задачу.

Розгляньте пряму, що проходить через точку A (X -Y -Z ), координати якої відомі з умов завдання, і її проекцію на площину A (X -Y -Z ), координати якої потрібно визначити. Ця пряма повинна бути перпендикулярна площині, тому в якості направляючого вектора використовуйте нормальний до площині вектор. Площина задається рівнянням a * X + b * Y + c * Z - d = 0, значить, нормальний вектор можна позначити як = {a-b-c}. Виходячи з цього вектора і координат точки, складіть канонічні рівняння розглянутої прямий: (X-X ) / a = (Y-Y ) / b = (Z-Z ) / c.

Знайдіть точку перетину прямої з площиною, записавши отримані в попередньому кроці рівняння в параметричній формі: X = a * t + X , Y = b * t + Y і Z = c * t + Z . Ці вирази підставте в відоме з умов рівняння площині, щоб знайти таке значення параметра t , при якому пряма перетинає площину: a * (a * t + X ) + b * (b * t + Y ) + c * (c * t + Z ) - d = 0Преобразуйте його так, щоб в лівій частини рівності залишилася тільки змінна t : a * t + a * X + b * t + b * Y + c * t + c * Z - d = 0a * t + b * t + c * t = d - a * X - b * Y - c * Z t * (a + b + c ) = d - a * X - b * Y - c * Z t = (d - a * X - b * Y - c * Z ) / (a + b + c )

Підставте отримане значення параметра для точки перетину в рівняння проекцій на кожну координатну вісь з другого кроку: X = a * t + X = a * ((d - a * X - b * Y - c * Z ) / (a + b + c )) + X Y = b * t + Y = b * ((d - a * X - b * Y - c * Z ) / (a + b + c )) + Y Z = c * t + Z = c * ((d - a * X - b * Y - c * Z ) / (a + b + c )) + Z Рассчітанние за цими формулами величини і будуть значеннями абсциси, ординати і аппликати точки проекції. Наприклад, якщо вихідна точка A задана координатами (1-2--1), а площину визначена формулою 3 * X-Y + 2 * Z-27 = 0, координати проекції цієї точки будуть рівні: X = 3 * ((27 - 3 * 1 - (-1 * 2) - 2 * (- 1)) / (3 + (-1 ) + 2 )) + 1 = 3 * 28 / 14 + 1 = 7Y = -1 * ((27 - 3 * 1 - (-1 * 2) - 2 * (- 1)) / (3 + (-1 ) + 2 )) + 2 = -1 * 28/14 + 2 = 0Z = 2 * ((27 - 3 * 1 - (-1 * 2) - 2 * (- 1)) / (3 + (-1 ) + 2 )) + (-1) = 2 * 28/14 - 1 = 3Значіт, координати точки проекції A (7-0-3).