Спрощення параметричної функції

Умовний екстремум функції, як правило, відноситься до випадку функції двох змінних. Така функція визначається залежністю між деякої змінної z і двома незалежними змінними x і y типу z = f (x, y). Таким чином, дана функція являє собою деяку поверхню, якщо уявити її графічно.

Параметричної залежністю, що задається при визначенні умовного екстремуму, є деяка крива, яка визначається співвідношенням, що зв`язує дві незалежні змінні. Параметричне вираз g (x, y) = 0 в деяких випадках можна переписати в іншому вигляді, висловивши змінну y через x. Тоді можна отримати рівняння y = y (x). Підставивши дане рівняння в залежність z = f (x, y), можна отримати рівняння z = f (x, y (x)), яке стає в даному випадку вже залежністю тільки від змінної «ікс».

Далі можна знаходити екстремум так, як це робиться в ситуації з однією змінною. Дана процедура зводиться, в першу чергу, до визначення похідної даної функції z = f (x, y (x)). Після цього необхідно прирівняти похідну від функції до нуля і висловити змінну x, визначивши тим самим точку екстремуму. Підставивши дане значення змінної в вираз самої функції, можна знайти максимальне або мінімальне значення при заданому умови.

Загальний випадок знаходження екстремуму

Якщо параметричне рівняння g (x, y) = 0 можна ніяк дозволити щодо однієї з змінних, то умовний екстремум знаходять, використовуючи функцію Лагранжа. Ця функція являє собою суму двох інших функцій, одна з яких є вихідною досліджуваної функцією, а інша - твором деякої постійної l і параметричної функції, тобто L = f (x, y) + lg (x, y). В даному випадку необхідною умовою можливості існування екстремуму у функції z = f (x, y) за умови дотримання тотожності g (x, y) = 0 є рівність нулю всіх приватних похідних функції Лагранжа: dL / dx = 0, dL / dy = 0 , dL / dl = 0.

Кожне з рівнянь після проведення операції диференціювання дасть деяку залежність трьох змінних x, y і l. Маючи три рівняння з трьома змінними, можна знайти кожну з них в точці екстремуму. Після чого необхідно підставити значення «іксів» і «ігрековой» змінної в рівняння функції, умовний екстремум якої визначається, і знайти максимум або мінімум даної функції z = f (x, y) при заданому умови g (x, y) = 0. Даний метод визначення умовного екстремуму називається методом Лагранжа.