Як знайти підстави трапеції

Накресліть равнобокой трапецію. Дана площа трапеції - S, висота трапеції - h і бічна сторона - a. Опустіть висоту трапеції на більшу основу. Більше підставу буде розділено на відрізки m і n.

Для визначення довжини обох підстав (х, y) застосуєте властивість равнобокой трапеції і формулу розрахунку площі трапеції.

Відповідно до властивості равнобокой трапеції відрізок n дорівнює полуразность підстав х і y. Отже, менше підставу трапеції y можна представити у вигляді різниці більшого підстави і відрізка n, помноженого на два: y = x - 2 * n.

Знайдіть невідомий менший відрізок n. Для цього обчисліть одну їх сторін отриманого прямокутного трикутника. Трикутник утворений висотою - h (катет), бічний стороною - a (гіпотенуза) і відрізком - n (катет). Згідно з теоремою Піфагора невідомий катет n&# 178- = a&# 178- - h&# 178-. Підставте відомі числові значення і вирахувати квадрат катета n. Візьміть корінь квадратний з отриманого значення - це і буде довжина відрізка n.

Підставте отримане значення в перше рівняння для обчислення y. Площа трапеції вираховується за формулою S = ((х + y) * h) / 2. Висловіть невідому змінну: y = 2 * S / h - х.

Запишіть обидва отриманих рівняння в систему. Підставляючи відомі значення, знайдіть дві шукані величини в системі двох рівнянь. Отримане рішення системи х являє собою довжину більшого підстави, а y - меншого підстави.

Фігура з умови задачі представлена на малюнку 1. У даному випадку слід припустити, що розглянута трапеція - це чотирикутник AВCD, в якому задані довжини діагоналей AC і BD, а також бічна сторона АВ, представлена вектором a (ax, ay). Прийняті вихідні дані дозволяють знайти обидва основи трапеції (Як верхнє, так і нижнє). У конкретному прикладі спочатку буде знайдено нижня частина АD.

Розгляньте трикутник ABD. Довжина його боку АВ дорівнює модулю вектора a. Нехай | a | = sqrt ((ax) ^ 2 + (ay) ^ 2) = a, тоді cosф = ax / sqrt (((ax) ^ 2 + (ay) ^ 2), як направляючий косинус a. Нехай задана діагональ BD має довжину p, а шукана AD довжину х. Тоді, по теоремі косинусів, P ^ 2 = a ^ 2 + x ^ 2-2axcosф. Або x ^ 2-2axcosф + (a ^ 2-p ^ 2) = 0.

Рішення цього квадратного уравнения:X1=(2acosф+sqrt(4(a^2)((cosф)^2)-4(a^2-p^2)))/2=acosф+sqrt((a^2)((cosф)^2)-(a^2-p^2))==a*ax|sqrt(((ax)^2+(ay)^2)+sqrt((((a)^2)(ax^2))/(ax^2+ay^2))-a^2+ p ^ 2) = AD.

Для знаходження верхнього основи ВС (його довжина при пошуку рішення також позначена х) використовується модуль | a | = a, а також друга діагональ BD = q і косинус кута АВС, який, очевидно, дорівнює (п-ф).

Далі розглядається трикутник АВС, до якого, як і раніше, застосовується теорема косинусів, і виникає наступне рішення. З огляду на, що cos (п-ф) = - cosф, на основі рішення для AD, можна записати наступну формулу, замінивши p на q: ВС = - a * ax | sqrt (((ax) ^ 2 + (ay) ^ 2 ) + sqrt ((((a) ^ 2) (ax ^ 2)) / (ax ^ 2 + ay ^ 2)) - a ^ 2 + q ^ 2).

Дане рівняння є квадратним і, відповідно, має два кореня. Таким чином, в даному випадку залишається вибрати лише ті корені, які мають позитивне значення, так як довжина не може бути негативною.

ПрімерПусть в трапеції АВСD бічна сторона АВ задана вектором a (1, sqrt3), p = 4, q = 6. знайти основи трапеції.Рішення. Використовуючи отримані вище алгоритми можна записати: | a | = a = 2, cosф = 1/2. AD = 1/2 + sqrt (4/4 -4 + 16) = 1/2 + sqrt (13) = (sqrt (13) +1) /2.BC=-1/2+sqrt (-3 + 36 ) = (sqrt (33) -1) / 2.