Накресліть прямокутну трапецію ABCD. Бічні сторони цієї фігури позначте, відповідно, як AB і DC. Перша бічна сторона DC збігається з висотою трапеції. Вона перпендикулярна двома підставами прямокутної трапеції.
Існує кілька способів знаходження бічних сторін. Так наприклад, якщо в завданні дана друга бічна сторона BA і кут ABH = 60, то першу висоту знайдіть найбільш простим із способів, провівши висоту BH:
BH = AB * sin
Оскільки BH = CD, то СD = AB * sin = 3AB / 2

Якщо, навпаки, дана сторона трапеції, позначена, як CD, а потрібно знайти її ж сторону AB, таке завдання вирішується дещо в інший спосіб. Так як BH = CD, і при цьому, BH є катет трикутника ABH, можна зробити висновок, що сторона AB дорівнює:
AB = BH / sin = 2BH / 3

Завдання можна вирішити і в тому випадку, якщо значення кутів невідомі, за умови, що дані два підстави і бічна сторона AB. Однак, в цьому випадку можна знайти тільки сторону CD, яка є висотою трапеції. Спочатку, знаючи значення підстав, знайдіть довжину відрізка AH. Він дорівнює різниці більшого і меншого підстав, оскільки відомо, що BH = CD:
AH = AD-BC
Потім, використовуючи теорему Піфагора, знайдіть висоту BH, рівну стороні CD:
BH = AB ^ 2-AH ^ 2

Якщо у прямокутної трапеції є діагональ BD і кут 2 , як показано на малюнку 2, то сторону AB можна знайти також за теоремою Піфагора. Для цього, спочатку обчисліть довжину підстави AD:
AD = BD * cos2
Потім знайдіть сторону AB наступним чином:
AB = BD ^ 2-AD ^ 2
Після цього доведіть подобу трикутників ABD і BCD. Так як у цих трикутників одна спільна сторона - діагональ, і при цьому, два кути рівні, як видно з малюнка, то ці фігури подібні. На підставі цього доказу знайдіть другу бічну сторону. Якщо відомо верхнє підставу і діагональ, то сторону знайдіть звичайним чином з використанням стандартної теореми косинусів:
c ^ 2 = а ^ 2 + b ^ 2-2ab cos , де а, b, с - сторони трикутника, - кут між сторонами а і b.

В даному конкретному випадку найбільш загальним її завданням (не надмірною) слід вважати умову: дані довжини верхнього і нижнього підстав, а також вектор однієї з діагоналей. Індекси координат (щоб написання формул не було схоже на множення) будуть виділені курсивом) .Для графічного зображення процесу рішення побудуйте малюнок 1.

Нехай в представленої задачі розглядається трапеція AВCD. У ній дані довжини підстав ВC = b і АD = a, а також діагональ АС, задана вектором p (px, py). Його довжина (модуль) | p | = p = sqrt (((px) ^ 2 + (py) ^ 2). Так як вектор задається ще і кутом нахилу до осі (в завданню - 0X), то позначте його через ф ( кут CAD і паралельний йому кут ACB). Далі необхідно застосувати відому зі шкільної програми теорему косинусів. при цьому шукану величину (довжини CD або АВ при складанні рівняння позначте через х).

Розгляньте трикутник AСD. тут довжина боку АС дорівнює модулю вектора | p | = p. AD = b. За теоремою косинусів x ^ 2 = p ^ 2 + b ^ 2-2pbcosф. x = CD = sqrt (p ^ 2 + b ^ 2-2pbcosф) = CD.

Тепер розгляньте трикутник ABC. довжина боку АС дорівнює модулю вектора | p | = p. BC = a. За теоремою косинусів x ^ 2 = p ^ 2 + a ^ 2-2pacosф. х = AB = sqrt (p ^ 2 + a ^ 2-2pacosф).

Хоча квадратне рівняння і має два кореня, в даному випадку необхідно вибрати лише ті, де перед коренем з дискримінанту стоїть знак плюс, при цьому свідомо виключивши негативні рішення. Це обумовлено тим, що довжина боку трапеції повинна бути свідомо позитивної.

Отже, шукані рішення у вигляді алгоритмів вирішення даного завдання отримані. Щоб уявити числове рішення залишається підставити дані з умови. При цьому cosф обчислюється, як направляючий вектор (орт) вектора p = px / sqrt (px ^ 2 + py ^ 2).