Як вирішувати матрицю методом гаусса
Рішення матриці в класичному варіанті знаходиться за допомогою методу Гаусса. Даний метод заснований на послідовному виключенні невідомих змінних. Рішення виконується для розширеної матриці, тобто з включеним стовпцем вільних членів. При цьому коефіцієнти, які становлять матрицю, в результаті проведених перетворень утворюють ступінчасту або трикутну матрицю. Щодо головної діагоналі всі коефіцієнти матриці, крім вільних членів, повинні бути приведені до нуля.
1
Визначте спільність системи рівнянь. Для цього порахуйте ранг основної матриці А, тобто без шпальти вільних членів. Потім додайте стовпець вільних членів і обчисліть ранг вийшла розширеної матриці В. Ранг повинен бути відмінним від нуля, тоді система має рішення. При рівних значеннях рангів існує єдине рішення даної матриці.
матрицю методом Гаусса" class ="lightbx" data-lightbox ="article-image"gt;
2
Наведіть розширену матрицю до виду, коли по головній діагоналі розташовуються одиниці, а нижче неї всі елементи матриці дорівнюють нулю. Для цього перший рядок матриці розділіть на її перший елемент так, щоб перший елемент головної діагоналі став дорівнює одиниці.
матрицю методом Гаусса" class ="lightbx" data-lightbox ="article-image"gt;
3
Відніміть перший рядок від всіх нижніх рядків так, щоб в перовому стовпці все нижні елементи звернулися в нуль. Для цього помножте спочатку перший рядок на перший елемент другого рядка і відніміть рядки. Потім аналогічно помножте перший рядок на перший елемент третього рядка і відніміть рядки. І так продовжуйте з усіма рядками матриці.
матрицю методом Гаусса" class ="lightbx" data-lightbox ="article-image"gt;
4
Розділіть другий рядок на коефіцієнт у другому стовпці так, щоб наступний елемент головної діагоналі на другому рядку і в другому стовпці став дорівнює одиниці.
матрицю методом Гаусса" class ="lightbx" data-lightbox ="article-image"gt;
5
Відніміть другий рядок від всіх нижніх рядків таким же чином, як описано вище. Всі нижчестоящі щодо другого рядка елементи повинні звернутися в нуль.
матрицю методом Гаусса" class ="lightbx" data-lightbox ="article-image"gt;
6
Аналогічно проведіть освіту наступної одиниці на головній діагоналі в третій і наступних рядках і обнулення нижчестоящих коефіцієнтів матриці.
матрицю методом Гаусса" class ="lightbx" data-lightbox ="article-image"gt;
7
Потім приведіть отриману трикутну матрицю до виду, коли елементи над головною діагоналлю також є нулі. Для цього відніміть останній рядок матриці з усіх вищих рядків. Домножайте на відповідний коефіцієнт і віднімайте стоки так, щоб звернулися в нуль елементи стовпця, де в поточному рядку є одиничка.
матрицю методом Гаусса" class ="lightbx" data-lightbox ="article-image"gt;
8
Проведіть подібне віднімання всіх рядків в порядку знизу вгору, поки не обнуляться все елементи вище головної діагоналі.
9
Решта елементи в стовпці вільних членів і є рішенням заданої матриці. Запишіть отримані значення.
матрицю методом Гаусса" class ="lightbx" data-lightbox ="article-image"gt;
Рада 2: Як вирішувати матрицю по Гауса
Метод Гаусса є одним з основних принципів вирішення системи лінійних рівнянь. Його перевага полягає в тому, що воно не вимагає квадратичності вихідної матриці або ж попереднього розрахунку її визначника.
Вам знадобиться
- Підручник з вищої математики.
Інструкція
1
Отже у вас є система лінійних алгебраїчних рівнянь. Даний метод складається з двох основних ходів - прямого і зворотного.
матрицю по Гауса" class ="lightbx" data-lightbox ="article-image"gt;
2
Прямий хід: Запишіть систему в матричному віде.Составьте розширену матрицю і приведіть її до східчастого увазі за допомогою елементарних перетворень рядків. Варто нагадати, що матриця має ступінчастий вигляд, якщо виконуються наступні дві умови: Якщо якась рядок матриці нульова, то всі наступні рядки теж є нулевимі- Опорний елемент кожної наступний рядки знаходиться правіше, ніж в предидущей.Елементарним перетворенням рядків називають дії наступних трьох типів:
1) перестановка місцями будь-яких двох рядків матриці.
2) заміна будь-якого рядка сумою цього рядка з будь-якої іншої, попередньо помноженої на деяке число.
3) множення будь-якого рядка на відмінне від нуля чісло.Определіте ранг розширеної матриці і зробіть висновок про спільності системи. Якщо ранг матриця А не збігається з рангом розширеної матриці, то система не сумісна і відповідно не має рішення. Якщо ж ранги не збігаються, то система сумісна, і продовжуйте пошук рішень.
1) перестановка місцями будь-яких двох рядків матриці.
2) заміна будь-якого рядка сумою цього рядка з будь-якої іншої, попередньо помноженої на деяке число.
3) множення будь-якого рядка на відмінне від нуля чісло.Определіте ранг розширеної матриці і зробіть висновок про спільності системи. Якщо ранг матриця А не збігається з рангом розширеної матриці, то система не сумісна і відповідно не має рішення. Якщо ж ранги не збігаються, то система сумісна, і продовжуйте пошук рішень.
3
Зворотний хід: Оголосіть базисними невідомими ті, номери яких збігаються із номерами базисних стовпців матриці А (її ступеневої виду), а інші змінні будете вважати вільними. Число вільних невідомих обчислюємо за формулою k = n-r (A), де n-число невідомих, r (A) -ранг матриця А.Далее поверніться до ступінчастою матриці. Наведіть її до виду Гаусса. Нагадаємо, що ступінчаста матриця має вигляд Гаусса, якщо все опорні елементи її рівні одиниці, а над опорними елементами одні нулі. Запишіть систему алгебраїчних рівнянь, яка відповідає матриці виду Гаусса, позначивши вільні невідомі як C1, ..., Ck.На наступному кроці висловіть з отриманої системи базисні невідомі через вільні.
4
Запишіть відповідь у векторному або покоординатно вигляді.
Корисна порада
Існує безліч програм для вирішення даного завдання. Якщо цікавить саме відповідь, а не механізм методу, то цілком можна скористатися ними.
Статті за темою "Як вирішувати матрицю методом гаусса"
Оцініть, будь ласка статтю