Як обчислити ранг матриці
Якщо в будь-який матриці A взяти довільні k рядків і стовпців і скласти з елементів цих рядків і стовпців підматрицю розміру k на k, то така подматріца називається мінор матриці A. Кількість рядків і стовпців в найбільшому такому мінорі, відмінному від нуля, називається рангом матриці.
1
Для матриць невеликого розміру можна обчислити ранг методом перебору всіх мінорів. У загальному випадку це важко і зручно користуватися методом приведення матриці до трикутного вигляду. Трикутний вид - такий різновид матриці, при якій під головною діагоналлю матриці стоять тільки нульові елементи. Після приведення до трикутного вигляду досить підрахувати кількість ненульових рядків або стовпців (дивлячись чого з них виявиться менше). Це число і буде рангом матриці.
2
У прикладі розглядається прямокутна матриця розмірності 3 на 4. Уже на цьому етапі зрозуміло, що ранг не буде вищою за 3, так як найменша з розмірностей дорівнює 3.
3
Тепер треба, використовуючи елементарні операції, обнулити перший стовпець матриці, залишивши ненульовим тільки перший елемент в ньому. Для цього помножте перший рядок на 2 і відніміть поелементно з другого рядка, результат запишіть у другий рядок. Помножте перший рядок на -1 і відніміть з третього рядка, щоб обнулити перший елемент третього рядка.
4
Залишилося обнулити другий елемент третього рядка, щоб отримати нульові елементи нижче головної діагоналі матриці. Для цього з третього рядка відніміть другу. В даному випадку елемент [3-3] матриці також став рівним нулю, це випадковість, домагатися нулів на головній діагоналі Спеціально не нужно.Нулевих рядків і стовпців в матриці не з`явилося, значить ранг матриці дорівнює 3.
Зверніть увагу
Кількості рядків і стовпців матриці називаються її размерностями. Ранг матриці не може перевищувати меншу з її розмірностей.
Елементарні перетворення матриці дозволяють отримати матрицю того ж рангу, але не дорівнює початковій.
Корисна порада
Необов`язково віднімати рядка послідовно. Робіть так, як вам зручніше. Більш того, можна проробляти перетворення не з рядками, а за допомогою стовпців.
Статті за темою "Як обчислити ранг матриці"
Оцініть, будь ласка статтю