Спочатку приведіть систему рівнянь в такий вигляд, коли все невідомі стоятимуть в строго визначеному порядку. Наприклад, всі невідомі Х стоятимуть першими в кожному рядку, все Y - після X, все Z - після Y і так далі. У правій частині кожного рівняння невідомих бути не повинно. Подумки визначте коефіцієнти, які стоять перед кожною невідомої, а також коефіцієнти в правій частині кожного рівняння.

Отримані коефіцієнти запишіть у вигляді розширеної матриці. Розширена матриця - це матриця, складена з коефіцієнтів при невідомих і шпальти вільних членів. Після цього переходите до елементарних перетворень в матриці. Почніть переставляти місцями її рядки до тих пір, поки не знайдете пропорційні або однакові. Як тільки такі рядки з`являться, видаліть їх все, крім однієї.

Якщо в матриці з`явиться нульова рядок, видаліть і її. Нульова рядок - це рядок, в якій всі елементи дорівнюють нулю. Потім спробуйте ділити або множити рядки матриці на будь-які числа, крім нуля. Це допоможе вам спростити подальші перетворення, позбувшись від дрібних коефіцієнтів.

Почніть до рядків матриці додавати інші рядки, помножені на будь-яке число, відмінне від нуля. Робіть це до тих пір, поки не виявите в рядках нульові елементи. Кінцева мета всіх перетворень - перевести всю матрицю в ступінчастий (трикутний вид), коли кожна нижченаведена рядок матиме все більше і більше нульових елементів. В оформленні завдання простим олівцем можна підкреслити отриману драбинку і обвести кружками числа, розташовані на ступенях цих сходів.

Потім приведіть отриману матрицю назад в початковий вигляд системи рівнянь. У самому нижньому рівнянні вже буде видно готовий результат: чому дорівнює невідома, яка стояла на останньому місці кожного рівняння. Підставивши отримане значення невідомої в рівняння, розташоване вище, отримаєте значення другої невідомою. І так далі, поки не обчисліть значення всіх невідомих.

Наведіть рівняння до стандартного вигляду. Для цього перенесіть вільний член в праву частину, а всі елементи лівої частини розташуйте в однаковому порядку. Щоб було легше скласти матрицю, пропишіть всі множники перед змінної, навіть якщо вони рівні 0 або 1 (наприклад, в одному з рівнянь немає члена з х2 - значить, його можна записати як 0 * х2).

Складіть матрицю, виписавши всі множники перед змінними у вигляді таблиці. Вільні члени при цьому будуть знаходитися праворуч, після вертикальної риски.

Порядок рівнянь в системі не має значення, тому можете змінювати рядки місцями. Також можна множити (або ділити) всі члени одного рядка на одне і те ж число. Ще одна важлива можливість - можна складати (або віднімати) рядки, тобто, наприклад, з кожного члена верхнього рядка віднімати відповідний член нижньої лінійки.

Ваша мета - перетворити матрицю в трикутну, щоб все числа в нижньому лівому і правому верхньому кутах звернулися в нуль. Спочатку виключіть з усіх рівнянь, крім першого, змінну х1. Наприклад, якщо в першому рівнянні варто 2х1, у другому 4х1, а в третьому просто х1 (тобто, перший стовпчик матриці 2, 4, 1), то зручніше за все буде помножити третє рівняння на 2, потім відняти його з першого.

Далі помножте його ж на 4 і відніміть з другого. Таким чином, змінна х1 зникне з першої і другої рядки. Поміняйте місцями першу і третю рядки, щоб одиниця стояла у верхньому лівому кутку.

Коли змінна х1, що не рівна нулю, буде зустрічатися лише в одному рядку, переходите до наступної змінної х2. Точно також, використовуючи можливість переставляти рядки, множити їх на число, віднімати з один одного, приведіть всі члени другого шпальти до нуля (крім одного). Зверніть увагу, чи не рівний нулю член буде розташований в іншому рядку - наприклад, у другій.

Досягніть того, щоб ваша матриця придбала такий вигляд: діагональ з верхнього лівого в нижній правий кут заповнена одиницями, а решта членів дорівнюють нулю. Вільні члени при цьому будуть рівні якихось числах. Підставте отримані значення в рівняння, і ви побачите відповідь на завдання - кожна змінна буде рівна певному числу.