Для вирішення поставленого завдання потрібно поняття рангу матриці, а також теорема Кронекера-Капеллі. Рангом матриці називається розмірність найбільшого відмінного від нуля визначника, який можна виділити з матриці.
Вам знадобиться
Інструкція
1
Теорема Кронекера-Капеллі звучить наступним чином: для того щоб система лінійних рівнянь (1) була сумісна необхідно і достатньо, щоб ранг розширеної матриці системи дорівнював рангу матриці системи. Система т лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими має вигляд (див. Рис. 1), де аij - коефіцієнти системи, хj - невідомі, bi - вільні члени (i = 1, 2, ..., т-j = 1, 2 , ..., п).
2
метод Гаусса
Метод Гаусса полягає в тому, що вихідну систему шляхом виключення невідомих перетворять до ступінчастого вигляду. При цьому еквівалентні лінійні перетворення виконуються над рядками в розширеній матриці.
Метод складається з прямого і зворотного ходів. Прямим ходом є приведення розширеної матриці системи (1) до ступінчастого вигляду шляхом елементарних перетворень над рядками. Після чого відбувається дослідження системи на спільність і визначеність. Потім за ступеневою матриці відновлюється система рівнянь. Вирішення цієї ступеневої системи рівнянь є зворотним ходом методу Гауса, в якому, починаючи з останнього рівняння, послідовно обчислюються невідомі з великим порядковим номером, і їх значення підставляються в попереднє рівняння системи.
3
Дослідження системи в кінці прямого ходу проводиться по теоремі Кронекера-Капеллі порівнянням рангів матриці системи А (rangA) і розширеної матриці А `(rang (A`).
Слід розглянути реалізацію методу Гаусса на прикладі.
Приклад. Вирішити систему рівнянь (див. Рис.2).
4
Рішення. Вирішіть систему методом Гаусса. Випишете розширену матрицю системи і приведіть її до східчастого увазі елементарними перетвореннями рядків (прямий хід). Рядки тільки складаються, з урахуванням зазначених збоку коефіцієнтів і на напрямку, заданих перпендикулярів зі стрілками (див. Рис. 3), тому система сумісна і має єдине рішення, тобто є визначеною.
5
Складіть систему ступеневої виду і вирішите її (зворотний хід). Рішення наведено на рис.4. Перевірку легко зробити методом підстановки.
Відповідь: x = 1, y = -2, z = 3.
Якщо число рівнянь менше числа змінних, то виникають вільні невідомі, що позначаються вільними постійними. На стадії зворотного ходу через них виражаються всі інші невідомі.
Статті за темою "Як вирішувати лінійні рівняння з гауссом"
