Як знайти власні числа матриці
Матриці, що представляють собою табличну форму запису даних, широко застосовуються при роботі з системами лінійних рівнянь. Причому число рівнянь визначає кількість рядків матриці, а кількість змінних - порядок її стовпців. В результаті рішення лінійних систем зводиться до операцій над матрицями, одна з яких - пошук власних чисел матриці. Їх обчислення здійснюється за допомогою характеристичного рівняння. Власні числа можуть бути визначені для квадратної матриці порядку m.
1
Запишіть задану квадратну матрицю А. Для пошуку її власних чисел використовуйте характеристичне рівняння, що випливає з умови нетривіального рішення лінійної однорідної системи, представленої в даному випадку квадратною матрицею. Як випливає з правила Крамера, рішення існує тільки в тому випадку, якщо її визначник дорівнює нулю. Таким чином, можна записати рівняння | A - E | = 0, де А - задана матриця, - шукані власні числа, E - одинична матриця, у якої всі елементи на головній діагоналі рівні одиниці, а решта - нулю.
2
Виконайте множення шуканої змінної на одиничну матрицю Е тієї ж розмірності, що і задана вихідна А. Результатом операції буде матриця, де по головній діагоналі розташовані значення , інші елементи залишаються рівними нулю.
3
Відніміть із заданої матриці А отриману в попередньому кроці матрицю. Результуюча матриця різниці буде повторювати вихідну А за винятком елементів по головній діагоналі. Вони ж будуть являти собою різницю: (АII - ), де АII - елементи головної діагоналі матриці А, - змінна, яка визначає шукані власні числа.
4
Знайдіть визначник отриманої матриці різниці. У разі розгляду системи другого порядку він дорівнює різниці добутків елементів головної та побічної діагоналі матриці: (А11 - ) * (а22 - ) - А12 * а21. Для третього порядку обчислення визначника проводиться за правилом Саррюс (правилом трикутників): А11 * а22 * А33 + а13 * а21 * А32 + А12 * А23 * а31 - а21 * а12 * А33 - а13 * а22 * а31 - а11 * А32 * А23, де аij - елементи матриці. При вирішенні матриць більшої розмірності доцільно використовувати метод Гаусса або розкладання по рядку.
5
В результаті обчислень визначника і проведених спрощень вийде лінійне рівняння з невідомою змінною . Розв`яжіть рівняння. Всі його дійсні корені і будуть власними числами вихідної матриці А.
Статті за темою "Як знайти власні числа матриці"
Оцініть, будь ласка статтю