Як знаходити зворотну матрицю
Вивчимо алгоритм знаходження оберненої матриці двома основними методами: методом Гаусса та за допомогою союзної матриці.
Вам знадобиться
- - уважність
- - знання методики
Інструкція
1
Нехай дана матриця А деякого розміру.
Зворотною матрицею матриці А буде матриця B, при множенні якої на вихідну матрицю А виходитиме одинична матриця Е. Зворотній матриця може бути знайдена тільки для квадратної матриці, визначник якої не дорівнює нулю. Матриця B обчислюється таким чином:
1. Починаючи з самого першого елемента, йдемо по рядку зліва направо, для кожного елемента мислення викреслюємо рядок і стовпець, в які він входить, обчислюємо визначник залишилася матриці (значення мінору) і записуємо його в нову матрицю. АЛЕ! Якщо з вихідної матриці поточний елемент ми беремо, послідовно проходячи по рядках, то в нову матрицю записуємо їх вже в стовпчик. Це ще не все.
2. Знаки отриманих елементів, починаючи з першого, будуть чергувати через один - це груба формулювання. Якщо говорити точно, то знак визначається виразом -1 в ступеня сум індексів даного елемента, тобто сума номера рядка і стовпчика, в яких він розташований. Іншими словами, знак на протилежний потрібно поміняти у елементів, що мають непарні суму індексів.
3. Перед отриманої зворотною матрицею B ставиться коефіцієнт 1 / (визначник вихідної матриці А).
Зворотною матрицею матриці А буде матриця B, при множенні якої на вихідну матрицю А виходитиме одинична матриця Е. Зворотній матриця може бути знайдена тільки для квадратної матриці, визначник якої не дорівнює нулю. Матриця B обчислюється таким чином:
1. Починаючи з самого першого елемента, йдемо по рядку зліва направо, для кожного елемента мислення викреслюємо рядок і стовпець, в які він входить, обчислюємо визначник залишилася матриці (значення мінору) і записуємо його в нову матрицю. АЛЕ! Якщо з вихідної матриці поточний елемент ми беремо, послідовно проходячи по рядках, то в нову матрицю записуємо їх вже в стовпчик. Це ще не все.
2. Знаки отриманих елементів, починаючи з першого, будуть чергувати через один - це груба формулювання. Якщо говорити точно, то знак визначається виразом -1 в ступеня сум індексів даного елемента, тобто сума номера рядка і стовпчика, в яких він розташований. Іншими словами, знак на протилежний потрібно поміняти у елементів, що мають непарні суму індексів.
3. Перед отриманої зворотною матрицею B ставиться коефіцієнт 1 / (визначник вихідної матриці А).
2
Це лише один з можливих методів. Також можна скористатися методом Гаусса. Він полягає в тому, що ми беремо вихідну матрицю А і одиничну матрицю Е. Застосовуючи перетворення рядків або стовпців (можемо вичитати або складати відповідні стовпці або рядки або множити їх на число) до їм обом одночасно наведемо А до Е. Тоді друга вийшла матриця буде зворотної, тобто B.
Перевірити вірність ваших обчислень дуже просто: перемножте вихідну матрицю А і зворотну їй матрицю B. Якщо вийде одинична матриця Е, то всі дії зроблені вірно.
Перевірити вірність ваших обчислень дуже просто: перемножте вихідну матрицю А і зворотну їй матрицю B. Якщо вийде одинична матриця Е, то всі дії зроблені вірно.
Рада 2: Як знайти зворотну матрицю
знаходження зворотної матриці вимагає навичок поводження з матрицями, зокрема, вміння обчислювати визначник і транспонувати.
1
Зворотній матриця знаходиться з елементів вихідної за формулою: A ^ -1 = A * / detA, де A * - приєднана матриця, detA - визначник вихідної матриці. Приєднана матриця - це транспонована матриця доповнень до елементів вихідної матриці.
2
Насамперед знайдіть визначник матриці, він повинен бути відмінний від нуля, так як далі визначник буде використовуватися в якості подільника. Нехай для прикладу дана квадратна матриця третього порядку (що складається з трьох рядків і трьох стовпців). Як видно, визначник нашої матриці не дорівнює нулю, тому існує зворотна матриця.
матрицю" class ="lightbx" data-lightbox ="article-image"gt;
3
Знайдіть доповнення до кожного елементу матриці A. Доповненням до A [i, j] називається визначник подматріци, отриманої з вихідної викреслюванням i-го рядка і j-го стовпця, причому цей визначник береться зі знаком. Знак визначається множенням визначника на (-1) в ступені i + j. Таким чином, наприклад, доповненням до A [2,1] буде визначник, розглянутий на малюнку. Знак вийшов так: (-1) ^ (2 + 1) = -1.
матрицю" class ="lightbx" data-lightbox ="article-image"gt;
4
В результаті ви отримаєте матрицю доповнень, тепер транспонується її. Транспонування - це операція, симетрична щодо головної діагоналі матриці, стовпці і рядки міняються місцями. Таким чином, ви знайшли приєднану матрицю A *.
матрицю" class ="lightbx" data-lightbox ="article-image"gt;
5
Тепер кожен елемент ділите на визначник вихідної матриці і отримаєте матрицю зворотний вихідної.
матрицю" class ="lightbx" data-lightbox ="article-image"gt;
Статті за темою "Як знаходити зворотну матрицю"
Оцініть, будь ласка статтю