Як вирішувати логарифмічні нерівність

Якщо основа логарифма аgt; 0, то нерівність logaF (x) gt; logaG (x) рівносильне системі нерівностей F (x) gt; G (x), F (x) gt; 0, G (x) gt; 0. Розглянемо приклад: lg (2x ^ 2 + 4x + 10) gt; lg (x ^ 2-4x + 3). Перейдемо в рівносильній системі нерівностей: 2x ^ 2 + 4x + 10gt; x ^ 2-4x + 3, 2x ^ 2 + 4x + 10gt; 0, x ^ 2-4x + 3gt; 0. Вирішивши цю систему, отримуємо рішення даної нерівності: х належить проміжків (до нескінченності, -7), (-1,1), (3, + нескінченності).

Якщо основа логарифма знаходиться в інтервалі від 0 до 1, то нерівність logaF (x) gt; logaG (x) рівносильне системі нерівностей F (x) 0, G (x) gt; 0. Наприклад, log (x + 25) по підставі 0.5gt; log (5x-10) по підставі 0,5. Перейдемо в рівносильній системі нерівностей: x + 25lt; 8x-10, x + 25gt; 0, 8x-10gt; 0. При вирішенні даної системи нерівностей, отримуємо xgt; 5, що і буде рішенням початкового нерівності.

Якщо невідоме варто і під знаком логарифма і в його підставі, то рівняння logF (x) по підставі h (x) gt; logG (x) по підставі h (x) рівносильно сукупності систем: 1 система - h (x) gt; 1 , F (x) gt; G (x), F (x) gt; 0, G (x) gt; 0- 2 - 00, G (x) gt; 0. Наприклад, log (5-x) по підставі (x + 2) / (x-3) gt; log (4-x) по підставі (x + 2). Зробимо рівносильний перехід до сукупності систем нерівностей: 1 система - (x + 2) / (x-3) gt; 1, x + 2gt; 4-x, x + 2gt; 0, 4-xgt; 0- 2 система - 0lt ; (x + 2) / (x-3) lt; 1, x + 2lt; 4-x, x + 2gt; 0, 4-xgt; 0. Вирішуючи дану сукупність систем, отримуємо 3

Деякі логарифмічні рівняння можливо вирішити за допомогою заміни змінної. Наприклад, (lgX) ^ 2 + lgX-2gt; = 0. Позначимо lgX = t, тоді отримуємо рівняння t ^ 2 + t-2gt; = 0, вирішуючи яке отримуємо tlt; = - 2 або tgt; = 1. Таким чином отримуємо сукупність нерівностей lgXlt; = 2, lgXgt; = 1. Вирішуємо їх, xgt; = 10 ^ (- 2)? 00.