Як вирішити нерівність логарифмів
Логарифмічні нерівність - це нерівність, що містить в собі логарифми. Якщо ви готуєтеся здавати ЄДІ з математики, важливо вміти вирішувати логарифмічні рівняння і нерівності.
1
Переходячи до вивчення нерівностей з логарифмами, ви повинні вже вміти вирішувати логарифмічні рівняння, знати властивості логарифмів, основне логарифмічна тотожність.
2
Рішення всіх завдань на логарифми починайте з знаходження ОДЗ - області допустимих значень. Вираз під логарифмом повинно бути позитивним, підстава логарифма має бути більше нуля і не дорівнювати одиниці. Слідкуйте за рівносильних перетворень. ОДЗ на кожному кроці має залишатися одним і тим же.
3
При вирішенні логарифмічних нерівностей важливо, щоб з двох сторін від знака порівняння були логарифми, причому з одним і тим же підставою. Якщо з будь-якої сторони представлено число, запишіть його у вигляді логарифма, застосовуючи основне логарифмічна тотожність. Число b дорівнює числу a у ступені log, де log - логарифм b по підставі a. Основна логарифмічна торжество є, по суті, визначенням логарифма.
4
вирішуючи логарифмічна нерівність, зверніть увагу на підставу логарифма. Якщо воно більше одиниці, то при позбавленні від логарифмів, тобто при переході до простого числовому нерівності, знак нерівності залишається тим же. Якщо основа логарифма від нуля до одиниці, знак нерівності змінюється на протилежний.
5
Корисно пам`ятати ключові властивості логарифмів. Логарифм одиниці дорівнює нулю, логарифм числа a за основою a дорівнює одиниці. Логарифм добутку дорівнює сумі логарифмів, логарифм приватного дорівнює різниці логарифмів. Якщо подлогаріфменное вираз зводиться до степеня B, то її можна винести за знак логарифма. Якщо основа логарифма зводиться до степеня A, за знак логарифма можна винести число 1 / A.
6
Якщо основа логарифма представлено деяким виразом Q, що містить змінну x, необхідно розглянути два випадки: Q (x) (1 + ) і Q (x) (0-1). Відповідно до цього ставиться і знак нерівності при переході від логарифмічного порівняння до простого алгебраїчного.
Рада 2: Як вирішувати логарифмічні нерівність
логарифмічні нерівності - це нерівності, що містять невідоме під знаком логарифма і (або) в його підставі. При вирішенні логарифмічних нерівностей часто використовують такі твердження.
Вам знадобиться
- Уміння вирішувати системи і сукупності нерівностей
Інструкція
1
Якщо основа логарифма аgt; 0, то нерівність logaF (x) gt; logaG (x) рівносильне системі нерівностей F (x) gt; G (x), F (x) gt; 0, G (x) gt; 0. Розглянемо приклад: lg (2x ^ 2 + 4x + 10) gt; lg (x ^ 2-4x + 3). Перейдемо в рівносильній системі нерівностей: 2x ^ 2 + 4x + 10gt; x ^ 2-4x + 3, 2x ^ 2 + 4x + 10gt; 0, x ^ 2-4x + 3gt; 0. Вирішивши цю систему, отримуємо рішення даної нерівності: х належить проміжків (до нескінченності, -7), (-1,1), (3, + нескінченності).
2
Якщо основа логарифма знаходиться в інтервалі від 0 до 1, то нерівність logaF (x) gt; logaG (x) рівносильне системі нерівностей F (x) 0, G (x) gt; 0. Наприклад, log (x + 25) по підставі 0.5gt; log (5x-10) по підставі 0,5. Перейдемо в рівносильній системі нерівностей: x + 25lt; 8x-10, x + 25gt; 0, 8x-10gt; 0. При вирішенні даної системи нерівностей, отримуємо xgt; 5, що і буде рішенням початкового нерівності.
3
Якщо невідоме варто і під знаком логарифма і в його підставі, то рівняння logF (x) по підставі h (x) gt; logG (x) по підставі h (x) рівносильно сукупності систем: 1 система - h (x) gt; 1 , F (x) gt; G (x), F (x) gt; 0, G (x) gt; 0- 2 - 00, G (x) gt; 0. Наприклад, log (5-x) по підставі (x + 2) / (x-3) gt; log (4-x) по підставі (x + 2). Зробимо рівносильний перехід до сукупності систем нерівностей: 1 система - (x + 2) / (x-3) gt; 1, x + 2gt; 4-x, x + 2gt; 0, 4-xgt; 0- 2 система - 0lt ; (x + 2) / (x-3) lt; 1, x + 2lt; 4-x, x + 2gt; 0, 4-xgt; 0. Вирішуючи дану сукупність систем, отримуємо 3
4
Деякі логарифмічні рівняння можливо вирішити за допомогою заміни змінної. Наприклад, (lgX) ^ 2 + lgX-2gt; = 0. Позначимо lgX = t, тоді отримуємо рівняння t ^ 2 + t-2gt; = 0, вирішуючи яке отримуємо tlt; = - 2 або tgt; = 1. Таким чином отримуємо сукупність нерівностей lgXlt; = 2, lgXgt; = 1. Вирішуємо їх, xgt; = 10 ^ (- 2)? 00.
Зверніть увагу
У 1-3 твердженнях можуть стояти будь-які знаки (gt; =,
Корисна порада
Логарифм з основою 10, називається десятковим і позначається lgX.
Логарифм з основою 2,7 називається натуральним і позначається lnX.
Логарифм з основою 2,7 називається натуральним і позначається lnX.
Статті за темою "Як вирішити нерівність логарифмів"
Оцініть, будь ласка статтю