Як вирішувати системи рівнянь
вирішити систему рівнянь нескладно, якщо скористатися основними способами вирішення систем лінійних рівнянь: Методом підстановки і методом складання.
1
Розглянемо методи вирішення системи рівнянь на прикладі системи з двох лінійних рівнянь, мають два невідомих значення. У загальному вигляді така система записується в такий спосіб (зліва рівняння об`єднуються фігурною дужкою):
aх + bу = c
d х + eу = f, де
а, b, c, d, е, f - коефіцієнти (конкретні числа), а х і у, як зазвичай - невідомі. Числа а, b, с, d називаються коефіцієнтами при невідомих, а з і f - вільними членами. рішення такої системи рівнянь знаходиться двома основними методами.
Рішення системи рівнянь методом підстановки.
1. Беремо перше рівняння і висловлюємо одне з невідомих (х) через коефіцієнти і інше невідоме (у):
х = (з-by) / a
2. Підставляємо отримане для х вираз в друге рівняння:
d (c-by) / a + ey = f
3. Вирішуючи отримане рівняння, знаходимо вираз для у:
у = (af-cd) / (ae-bd)
4. Підставляємо отриманий вираз для у в вираз для х:
х = (се-bf) / (ae-bd)
Приклад: потрібно вирішити систему рівнянь:
3х-2у = 4
х +3 у = 5
Знаходимо значення х з першого рівняння:
х = (2у + 4) / 3
Підставляємо отриманий вираз в друге рівняння і отримуємо рівняння з однією змінною (у):
(2у + 4) / 3 +3 у = 5, звідки отримуємо:
у = 1
Тепер підставляємо знайдене значення у в вирази для змінної х:
х = (2 * 1 + 4) / 3 = 2
Відповідь: х = 2, у = 1.
aх + bу = c
d х + eу = f, де
а, b, c, d, е, f - коефіцієнти (конкретні числа), а х і у, як зазвичай - невідомі. Числа а, b, с, d називаються коефіцієнтами при невідомих, а з і f - вільними членами. рішення такої системи рівнянь знаходиться двома основними методами.
Рішення системи рівнянь методом підстановки.
1. Беремо перше рівняння і висловлюємо одне з невідомих (х) через коефіцієнти і інше невідоме (у):
х = (з-by) / a
2. Підставляємо отримане для х вираз в друге рівняння:
d (c-by) / a + ey = f
3. Вирішуючи отримане рівняння, знаходимо вираз для у:
у = (af-cd) / (ae-bd)
4. Підставляємо отриманий вираз для у в вираз для х:
х = (се-bf) / (ae-bd)
Приклад: потрібно вирішити систему рівнянь:
3х-2у = 4
х +3 у = 5
Знаходимо значення х з першого рівняння:
х = (2у + 4) / 3
Підставляємо отриманий вираз в друге рівняння і отримуємо рівняння з однією змінною (у):
(2у + 4) / 3 +3 у = 5, звідки отримуємо:
у = 1
Тепер підставляємо знайдене значення у в вирази для змінної х:
х = (2 * 1 + 4) / 3 = 2
Відповідь: х = 2, у = 1.
2
Рішення системи рівнянь методом складання (вирахування).
Цей метод зводиться до множення обох частин рівнянь на такі числа (параметри), щоб в результаті коефіцієнти у одній з змінних збіглися (можливо з протилежним знаком).
У загальному випадку, обидві частини першого рівняння потрібно помножити на (-d), а обидві частини другого рівняння на а. В результаті отримуємо:
-аdx-bdу = -сd
adx + aey = af
Склавши отримані рівняння, отримаємо:
-bdу + аеу = -сd + АF,
звідки отримуємо вираз для змінної у:
у = (af-cd) / (ae-bd),
підставляючи вираз для у в будь-яке рівняння системи, отримуємо:
ах + b (af-cd) / (ae-bd) = c?
з цього рівняння знаходимо другого невідоме:
х = (се-bf) / (ae-bd)
Приклад. Вирішити методом додавання або віднімання систему рівнянь:
3х-2у = 4
х +3 у = 5
Помножимо перше рівняння на (-1), а друге на 3:
-3х + 2у = -4
3х + 9У = 15
Склавши (почленно) обидва рівняння, отримуємо:
11у = 11
Звідки отримуємо:
у = 1
Підставляємо отримане значення для у в будь-який з рівнянь, наприклад, у другу, отримуємо:
3х + 9 = 15, звідки
х = 2
Відповідь: х = 2, у = 1.
Цей метод зводиться до множення обох частин рівнянь на такі числа (параметри), щоб в результаті коефіцієнти у одній з змінних збіглися (можливо з протилежним знаком).
У загальному випадку, обидві частини першого рівняння потрібно помножити на (-d), а обидві частини другого рівняння на а. В результаті отримуємо:
-аdx-bdу = -сd
adx + aey = af
Склавши отримані рівняння, отримаємо:
-bdу + аеу = -сd + АF,
звідки отримуємо вираз для змінної у:
у = (af-cd) / (ae-bd),
підставляючи вираз для у в будь-яке рівняння системи, отримуємо:
ах + b (af-cd) / (ae-bd) = c?
з цього рівняння знаходимо другого невідоме:
х = (се-bf) / (ae-bd)
Приклад. Вирішити методом додавання або віднімання систему рівнянь:
3х-2у = 4
х +3 у = 5
Помножимо перше рівняння на (-1), а друге на 3:
-3х + 2у = -4
3х + 9У = 15
Склавши (почленно) обидва рівняння, отримуємо:
11у = 11
Звідки отримуємо:
у = 1
Підставляємо отримане значення для у в будь-який з рівнянь, наприклад, у другу, отримуємо:
3х + 9 = 15, звідки
х = 2
Відповідь: х = 2, у = 1.
Статті за темою "Як вирішувати системи рівнянь"
Оцініть, будь ласка статтю
Ще статті розділу