Як вирішувати показові нерівності
нерівності, містять змінні в показнику ступеня, в математиці називають показовими нерівностями. Найпростішим прикладом таких нерівностей є нерівності виду a ^ xgt; b або a ^ x
1
Визначте вид нерівності. Після цього скористайтеся відповідним методом вирішення. Нехай дано нерівність a ^ f (x) gt; b, де agt; 0, a&ne-1. Зверніть увагу на значення параметрів a і b. Якщо agt; 1, bgt; 0, то рішенням будуть всі значення x з інтервалу (log [a] (b) - +&infin-). Якщо agt; 0 і alt; 1, bgt; 0, то x&isin - (-&infin-- log [a] (b)). А якщо agt; 0, blt; 0, то x приймає будь-яке дійсне значення. Наприклад, 2 ^ xgt; 3, a = 2gt; 1, b = 3gt; 0, тоді x&isin- (log [2] (3) - +&infin-).
2
Зверніть увагу таким же чином на значення параметрів для нерівності a ^ f (x) 1, bgt; 0 x приймає значення з інтервалу (-&infin-- log [a] (b)). Якщо agt; 0 і alt; 1, bgt; 0, то x&isin- (log [a] (b) - +&infin-). Нерівність не має рішення, якщо agt; 0 і blt; 0. Наприклад, 2 ^ xlt; 3. Тут a = 2gt; 1, b = 3gt; 0, тоді x&isin - (-&infin-- log [2] (3)).
3
Вирішіть нерівність f (x) gt; g (x), якщо дано показове нерівність a ^ f (x) gt; a ^ g (x) і agt; 1. А якщо для даного нерівності agt; 0 і alt; 1, то вирішите рівносильну нерівність f (x) 8. Тут a = 2gt; 1, f (x) = x, g (x) = 3. Тобто рішенням будуть все xgt; 3.
4
Прологаріфміруйте обидві частини нерівності a ^ f (x) gt; b ^ g (x) по підставі a або b, враховуючи властивості показовою функції і логарифма. Тоді якщо agt; 1, то вирішите нерівність f (x) gt; g (x) -log [a] (b). А якщо agt; 0 і alt; 1, то знайдіть рішення нерівності f (x) 3 ^ (x-1), a = 2gt; 1. Прологаріфміруйте обидві частини за основою 2: log [2] (2 ^ x) gt; log [2] (3 ^ (x-1)). Використовуйте основні властивості логарифма. Виходить, xgt; (x-1) -log [2] (3), і рішенням нерівності буде xgt; log [2] (3) / (log [2] (3) -1).
5
Вирішіть показове нерівність методом заміни змінної. Наприклад, нехай дано нерівність 4 ^ x + 2gt; 3-2 ^ x. Зробіть заміну t = 2 ^ x. Тоді виходить нерівність t ^ 2 + 2gt; 3-t, а це рівносильно t ^ 2-3-t + 2gt; 0. Рішення цієї нерівності tgt; 1, tlt; 2. Поверніться до початкової змінної: x ^ 2gt; 1 і x ^ 2lt; 2 або x ^ 2gt; 2 ^ 0 і x ^ 2lt; 2 ^ 1. Застосуйте метод з кроку 3. Рішенням показового нерівності 4 ^ x + 2gt; 3-2 ^ x буде інтервал (0- 1).
Зверніть увагу
Знак ^ позначає зведення в ступінь, а знак [] - підстава логарифма.
Статті за темою "Як вирішувати показові нерівності"
Оцініть, будь ласка статтю