Як вирішувати нерівність
нерівності відрізняються від рівнянь не тільки знаком "більше"/"менше", Що стоять між виразами. Тут є свої методи і свої підводні камені.
1
Нерівності мають як ряд унікальних особливостей, так і риси, подібні з рівняннями.
Одне з основних відмінностей накладає якраз так знак "більш-менш". Це означає, що при необхідності помножити обидві частини на який-небудь вираз (наприклад, на знаменник), ми повинні чітко знати його знак (і, звичайно, той факт, що вона не дорівнює нулю). Зокрема, це потрібно враховувати при зведенні в квадрат - це ж теж множення.
Подивимося на просто прикладі. Очевидно, що 3lt; 5. Помножимо обидві частини на 2. 6lt; 10. Як і раніше все вірно. А тепер помножимо на -2. Отримаємо -12lt; -20. А ось це вже не вірно. Просто так нерівності множити на негативні числа або виразу не можна. У цьому випадку знак нерівності потрібно замінити на протилежний.
Одне з основних відмінностей накладає якраз так знак "більш-менш". Це означає, що при необхідності помножити обидві частини на який-небудь вираз (наприклад, на знаменник), ми повинні чітко знати його знак (і, звичайно, той факт, що вона не дорівнює нулю). Зокрема, це потрібно враховувати при зведенні в квадрат - це ж теж множення.
Подивимося на просто прикладі. Очевидно, що 3lt; 5. Помножимо обидві частини на 2. 6lt; 10. Як і раніше все вірно. А тепер помножимо на -2. Отримаємо -12lt; -20. А ось це вже не вірно. Просто так нерівності множити на негативні числа або виразу не можна. У цьому випадку знак нерівності потрібно замінити на протилежний.
2
За винятком цього пункту, до певного моменту вирішуються нерівності так само, як і рівняння.
Приведення до спільного знаменника, пошук виколотих точок, перенесення членів в ліву частину, пошук коренів і розкладання на множники.
Ось. Дійшли до цього самого "певного моменту": Розкладання на множники. Далі шляхи вирішення рівнянь і нерівностей розходяться.
Приведення до спільного знаменника, пошук виколотих точок, перенесення членів в ліву частину, пошук коренів і розкладання на множники.
Ось. Дійшли до цього самого "певного моменту": Розкладання на множники. Далі шляхи вирішення рівнянь і нерівностей розходяться.
3
Будемо застосовувати для вирішення метод інтервалів.
Малюємо числову вісь.
На ній зазначено порожнім кружечком і підписуємо значення виколотих точок, а зафарбовані - невиколотих, і починаємо дізнаватися знак нерівності в кожній з отриманих областей. Для цього беремо будь-яку точку з цієї області (краще якусь зручну) і підставляємо в нерівність на місце x. У підсумку отримуємо деяке число. Залежно від його знака пишемо на числової осі в даній області "+" або "-". Далі можна продовжити аналогічні дії для інших областей, а можна і схитрувати, так як є деякі закономірності для проставлення знаків в методі інтервалів: знаки областей чергуються при переході через наступну точку, якщо відповідне вираз із зазначеною на числової осі точкою зустрічається в нерівності непарну кількість разів , і не змінюються при переході через цю точку, якщо парне.
Вибираємо з усіх областей ті, чий знак відповідає нашому нерівності.
Малюємо числову вісь.
На ній зазначено порожнім кружечком і підписуємо значення виколотих точок, а зафарбовані - невиколотих, і починаємо дізнаватися знак нерівності в кожній з отриманих областей. Для цього беремо будь-яку точку з цієї області (краще якусь зручну) і підставляємо в нерівність на місце x. У підсумку отримуємо деяке число. Залежно від його знака пишемо на числової осі в даній області "+" або "-". Далі можна продовжити аналогічні дії для інших областей, а можна і схитрувати, так як є деякі закономірності для проставлення знаків в методі інтервалів: знаки областей чергуються при переході через наступну точку, якщо відповідне вираз із зазначеною на числової осі точкою зустрічається в нерівності непарну кількість разів , і не змінюються при переході через цю точку, якщо парне.
Вибираємо з усіх областей ті, чий знак відповідає нашому нерівності.
4
В результаті отримуємо сукупність, яка у відповіді записується як "ікс належить ..." - На місці трьох крапок стоять всі відповідні області або точки. Виколоті точки на кінці області позначаються круглими дужками - вони не включаються у відповідь, невиколотие - квадратними, і вони включаються у відповідь. Поодинокі точки позначаються фігурними дужками, а між областями і точками у відповіді, так як це сукупність, ставиться знак об`єднання ("U").
У нерівності для двох змінних все аналогічно, просто виконується аналіз у допустимих на числової осі, а на площині.
У нерівності для двох змінних все аналогічно, просто виконується аналіз у допустимих на числової осі, а на площині.
Статті за темою "Як вирішувати нерівність"
Оцініть, будь ласка статтю