Як вирішувати графіки функцій

Для початку позначте область визначення функції - множина всіх допустимих значень змінної.

Далі для полегшення побудови графіка встановіть, чи є функція парною, непарною або індиферентною. Графік парної функції буде симетричний щодо осі ординат, непарної функції - щодо початку координат. Тому для побудови таких графіків досить буде зобразити їх, наприклад, в позитивній півплощини, а решту відобразити симетрично.

На наступному кроці знайдіть асимптоти. Вони бувають двох видів - вертикальні і похилі. Вертикальні асимптоти шукайте в точках розриву функції та на кінцях області визначення. Похилі шукайте, знайшовши кутовий і вільний коефіцієнти у формулі лінійної залежності.

Далі встановіть екстремуми функції - максимуми і мінімуми. Для цього потрібно знайти похідну функції, потім знайти її область визначення і прирівняти до нуля. В отриманих ізольованих точках визначте наявність екстремуму.

Визначте поведінку графіка функції з точки зору монотонності на кожному з отриманих проміжків. Для цього достатньо подивитися на знак похідної. Якщо похідна позитивна, то функція зростає, якщо негативна - убуває.

Для більш точного дослідження функції знайдіть точки перегину і інтервали опуклості функції. Для цього використовуйте другу похідну функції. Знайдіть її область визначення, прирівняти до нуля і визначте наявність перегину в отриманих ізольованих точках. Опуклість графіка визначте, досліджуючи знак другої похідної на кожному з отриманих інтервалів. Функція буде опукла вгору, якщо друга похідна негативна, і опукла вниз - якщо позитивна.

Далі знайдіть точки перетину графіка функції з осями координат і додаткові точки. Вони знадобляться для більш точного побудови графіка.

Побудова графіка. Почати слід з зображення осей координат, позначення області визначення і зображення асимптот. Далі нанесіть екстремуми і точки перегину. Відзначте точки перетину з осями координат і додаткові точки. Потім плавною лінією з`єднайте відмічені точки відповідно до напрямків опуклості і монотонністю.