завдання будь-якої функції - Це вказівка правила, за яким пов`язані один з одним елементи двох множин. перше називається областью визначення функції. Це такі допустимі значення її аргументу, які відповідають певним елементам другого безлічі, області значень функції.

Вважається, що функція задана, якщо відомі обидва цих безлічі. іноді областью визначення є нескінченний інтервал (- - + ), але в більшості випадків присутні деякі обмеження, які накладаються складовими елементами висловлення функції. Наприклад, в ній можуть бути присутніми такі математичні поняття, як корінь, ступінь, логарифмічна або тригонометрическая подфункция тощо.

Алгоритм знаходження області визначення функції складається з трьох етапів: визначення типу або типів обмежень, складання і рішення відповідних нерівностей, запис інтервалу або інтервалів допустимих значень аргументу.

Існує шість типів подфункций, присутність яких в основному вираженні може накласти обмеження на область її визначення. Це подкоренное вираз, статечна функція, логарифм, вираз під рискою дробу і деякі тригонометричні функції.

Запишіть нерівності відповідно до виявлених обмежень: - функція під знаком кореня, тобто в дробової ступеня з парним числом в знаменнику: f (х) 0-- функція в ступеня показника інший функції того ж аргументу: f (х) gt; 0-- логарифм log_а f (х): f (х) gt; 0-- відношення двох функцій f (х) / g (х): g (х) 0-- tg f (х) і сtg f (х): f (х) • k + / 2-- аrсsin f (х) і arccos f (х): -1 f (х) 1.

Вирішіть нерівності і запишіть інтервал, закритий чи відкритий в залежності від того, чи є його межі виколотими точками або належать області визначення. Про це говорять позначення: квадратна дужка означає входження в інтервал, а кругла - виняток. Наприклад, якщо область задана інтервалом (1 3], то для її елементів виконується подвійне нерівність 1 lt; х 3.

Для того щоб знайти область визначення функції, потрібно виявити «небезпечні зони», тобто такі значення x, при яких функція не існує і потім виключити їх з безлічі дійсних чисел. На що ж варто звернути увагу?

Якщо функція має вигляд y = g (x) / f (x), вирішите нерівність f (x)&# 8800-0, тому що знаменник дробу не може дорівнювати нулю. Наприклад, y = (x + 2) / (x-4), x-4&# 8800-0. Тобто областю визначення буде безліч (-&# 8734-- 4)&# 8746- (4 +&# 8734-).

Коли при визначенні функції присутній корінь парного степеня, вирішите нерівність, де значення під коренем буде більше або дорівнює нуля. Корінь парного степеня може бути взятий тільки з невід`ємного числа. Наприклад, y =&# 8730- (x-2), значить x-2&# 8805-0. Тоді областю визначення є безліч [2- +&# 8734-).

Якщо функція містить логарифм, вирішите нерівність, де вираз під логарифмом повинно бути більше нуля, тому що область визначення логарифма тільки позитивні числа. Наприклад, y = lg (x + 6), тобто x + 6gt; 0 і область визначення буде (-6- +&# 8734-).

Варто звернути увагу, якщо функція містить тангенс або котангенс. Область визначення функції tg (x) все числа, крім x =&# 928- / 2 +&# 928- * n, ctg (x) - все числа, крім x =&# 928- * n, де n приймає цілі значення. Наприклад, y = tg (4 * x), тобто 4 * x&# 8800-&# 928- / 2 +&# 928- * n. Тоді область визначення (-&# 8734-- &# 928- / 8 +&# 928- * n / 4)&# 8746- (&# 928- / 8 +&# 928- * n / 4- +&# 8734-).

Пам`ятайте, що зворотні тригонометричні функції - арксинус і арккосинус, визначені на відрізку [-1- 1], тобто якщо y = arcsin (f (x)) або y = arccos (f (x)), потрібно вирішити подвійне нерівність -1&# 8804-f (x)&# 8804-1. Наприклад, y = arccos (x + 2), -1&# 8804-x + 2&# 8804-1. Областю визначення буде відрізок [-3- -1].

Нарешті, якщо задана комбінація різних функцій, то область визначення є перетин областей визначення всіх цих функцій. Наприклад, y = sin (2 * x) + x /&# 8730- (x + 2) + arcsin (x-6) + lg (x-6). Спочатку знайдіть область визначення всіх складових. Sin (2 * x) визначено на всій числовій прямій. Для функції x /&# 8730- (x + 2) вирішите нерівність x + 2gt; 0 і область визначення буде (-2- +&# 8734-). Область визначення функції arcsin (x-6) задається подвійним нерівністю -1&# 8804-x-6&# 8804-1, тобто виходить відрізок [5- 7]. Для логарифма має місце нерівність x-6gt; 0, а це є інтервал (6 +&# 8734-). Таким чином, областю визначення функції буде безліч (-&# 8734-- +&# 8734-)&# 8745 - (- 2 +&# 8734-)&# 8745- [5- 7]&# 8745- (6- +&# 8734-), тобто (6 7].