Як визначити відповідність низки

Визначте формулу загального члена ряду. Нехай дано ряд x1 + x2 + ... + xn + ..., його загальний член має вигляд xn. Скористайтеся ознакою Коші визначення збіжності ряду. Порахуйте межа lim ((xn) ^ (1 / n)) при n прагне до &infin-. Нехай він існує і дорівнює L, тоді якщо Llt; 1, то ряд сходиться, якщо Lgt; 1, то ряд розходиться, а якщо L = 1, то необхідно додатково досліджувати ряд на збіжність.

Розгляньте приклади. Нехай дано ряд 1/2 + 1/4 + 1/8 + ..., загальний член ряду представляється у вигляді 1 / (2 ^ n). Знайдіть межа lim ((1 / (2 ^ n) ^ (1 / n)) при n прагне до &infin-. Ця межа дорівнює 1 / 2lt; 1 і, отже, ряд 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... сходиться. Або, наприклад, нехай є ряд 1 + 16/9 + 216/64 + .... Уявіть загальний член ряду у вигляді формули (2-n / (n + 1)) ^ n. Порахуйте межа lim (((2-n / (n + 1)) ^ n) ^ (1 / n)) = lim (2-n / (n + 1)) при n прагне до &infin-. Межа дорівнює 2gt; 1, тобто даний ряд розходиться.

Визначте збіжність ряду за ознакою Даламбера. Для цього порахуйте межа lim ((xn + 1) / xn) при n прагне до &infin-. Якщо ця межа існує і дорівнює Mlt; 1, то ряд сходиться, якщо Mgt; 1, то ряд розходиться. Якщо M = 1, то ряд може бути збіжним і розходяться.

Вивчіть кілька прикладів. Нехай дано ряд &Sigma- (2 ^ n / n!). Порахуйте межа lim ((2 ^ (n + 1) / (n + 1)!) - (N! / 2 ^ n)) = lim (2 / (n + 1)) при n прагне до &infin-. Він дорівнює 0lt; 1 і даний ряд є збіжним. Нехай тепер дано ряд &Sigma-n! - (6 / n) ^ n. Обчисліть межа lim ((n + 1)! - 6 ^ (n + 1) -n ^ n) / ((n + 1) ^ (n + 1) -n! -6 ^ N) = lim (6 / ( 1 + 1 / n) ^ n) = 6 / egt; 1 і означає даний ряд розходиться.

Скористайтеся ознакою Лейбніца для Знакозмінні ряду за умови, що xngt; x (n + 1). Порахуйте межа lim (xn) при n прагне до &infin-. Якщо ця межа дорівнює 0, то ряд сходиться, його сума позитивна і не перевищує першого члена ряду. Наприклад, нехай дано ряд 1-1 / 2 + 1 / 3-1 / 4 + .... Зауважте, що 1gt; 1 / 2gt; 1 / 3gt; ... gt; 1 / ngt; .... Загальний член ряду буде 1 / n. Порахуйте межа lim (1 / n) при n прагне до &infin-. Він дорівнює 0 і, отже, ряд сходиться.