Як знайти кути трикутника за трьома його сторонам

Нехай заданий трикутник зі сторонами a, b і с. При цьому сума довжин двох будь-яких сторін трикутника повинна бути більше довжини третьої сторони, тобто a + b&# 62-c, b + c&# 62-a та a + c&# 62-b. І необхідно знайти градусну міру всіх кутів цього трикутника. Нехай кут між сторонами a і b позначений як &# 945-, кут між b і c як &# 946-, а кут між c і a як &# 947-.

Теорема косинусів звучить так: квадрат довжини сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших довжин його сторін мінус подвоєний добуток цих довжин сторін на косинус кута між ними. Тобто складіть три рівності: a&# 178- = b&# 178- + c&# 178--2xbxcxcos (&# 946 -) - b&# 178- = a&# 178- + c&# 178--2xaxcxcos (&# 947 -) - c&# 178- = a&# 178- + b&# 178--2xaxbxcos (&# 945-).

З отриманих рівностей висловіть косинуси кутів: cos (&# 946 -) = (b&# 178- + c&# 178 - a&# 178-)&# 247- (2xbxc) - cos (&# 947 -) = (a&# 178- + c&# 178 - b&# 178-)&# 247- (2xaxc) - cos (&# 945 -) = (a&# 178- + b&# 178 - c&# 178-)&# 247- (2xaxb). Тепер, коли відомі косинуси кутів трикутника, щоб знайти самі кути скористайтеся таблицями Брадіса або візьміть з цих виразів арккосинуса: &# 946- = arccos (cos (&# 946 -)) - &# 947- = arccos (cos (&# 947 -)) - &# 945- = arccos (cos (&# 945-)).

Наприклад, нехай a = 3, b = 7, c = 6. Тоді cos (&# 945 -) = (3&# 178- + 7&# 178--6&# 178-)&# 247- (2x3x7) = 11/21 і &# 945-&# 8776-58,4&# 176-- cos (&# 946 -) = (7&# 178- + 6&# 178--3&# 178-)&# 247- (2x7x6) = 19/21 і &# 946-&# 8776-25,2&# 176-- cos (&# 947 -) = (3&# 178- + 6&# 178--7&# 178-)&# 247- (2x3x6) = - 1/9 і &# 947-&# 8776-96,4&# 176-.

Цю ж задачу можна вирішити іншим способом через площу трикутника. Спочатку знайдіть напівпериметр трикутника за формулою p = (a + b + c)&# 247-2. Потім порахуйте площа трикутника за формулою Герона S =&# 8730- (px (p-a) x (p-b) x (p-c)), тобто площа трикутника дорівнює квадратному кореню з добутку напівпериметр трикутника і різниць напівпериметр і кожної зі сторін трикутника.

З іншого боку, площа трикутника дорівнює половині твори довжин двох сторін на синус кута між ними. Виходить S = 0,5xaxbxsin (&# 945 -) = 0,5xbxcxsin (&# 946 -) = 0,5xaxcxsin (&# 947-). Тепер з цієї формули висловіть синуси кутів і підставте отримане в 5 кроці значення площі трикутника: sin (&# 945 -) = 2xS&# 247- (axb) - sin (&# 946 -) = 2xS&# 247- (bxc) - sin (&# 947 -) = 2xS&# 247- (axc). Таким чином, знаючи синуси кутів, щоб знайти градусну міру, використовуйте таблиці Брадіса або порахуйте арксинуса цих виразів: &# 946- = arccsin (sin (&# 946 -)) - &# 947- = arcsin (sin (&# 947 -)) - &# 945- = arcsin (sin (&# 945-)).

Наприклад, нехай дано такий же трикутник зі сторонами a = 3, b = 7, c = 6. Напівпериметр дорівнює p = (3 + 7 + 6)&# 247-2 = 8, площа S =&# 8730- (8x (8-3) x (8-7) x (8-6)) = 4&# 8730-5. Тоді sin (&# 945 -) = 2x4&# 8730-5&# 247- (3x7) = 8&# 8730-5 / 21 і &# 945-&# 8776-58,4&# 176-- sin (&# 946 -) = 2x4&# 8730-5&# 247- (7x6) = 4&# 8730-5 / 21 і &# 946-&# 8776-25,2&# 176-- sin (&# 947 -) = 2x4&# 8730-5&# 247- (3x6) = 4&# 8730-5 / 9 і &# 947-&# 8776-96,4&# 176-.