похідна деякої функції в кожній точці має певне значення. Таким чином, при її диференціюванні виходить нова функція, яка також може бути диференційована. У цьому випадку її похідна називається другою похідною вихідної функції і позначається F `` (x).

Першою похідною називається межа збільшення функції до приросту аргументу, тобто: F `(x) = lim (F (x) - F (x_0)) / (x - x_0) при x 0.Второй похідною вихідної функції є похідна функції F `(x) в тій же точці x_0, а саме: F` `(x) = lim (F` (x) - F `(x_0)) / (x - x_0).

Для знаходження других похідних складних функцій, які важко визначити звичайним способом, застосовують методи чисельного диференціювання. При цьому для розрахунку використовують наближені формули: F `` (x) = (F (x + h) - 2 * F (x) + F (x - h)) / h ^ 2 + (h ^ 2) F ` `(x) = (-F (x + 2 * h) + 16 * F (x + h) - 30 * F (x) + 16 * F (x - h) - F (x - 2 * h)) / (12 * h ^ 2) + (h ^ 2).

Основа методів чисельного диференціювання - апроксимація інтерполяційним многочленом. Наведені формули виходять в результаті подвійного диференціювання інтерполяційних многочленів Ньютона і Стірлінга.

Параметр h є кроком апроксимації, прийнятим для розрахунків, а (h ^ 2) - це похибка апроксимації. Аналогічно (h) для першої похідної ця нескінченно мала величина обернено пропорційна h ^ 2. Відповідно, вона тим більше, чим менше довжина кроку. Тому для мінімізації похибки важливо вибрати найоптимальніше значення h.Вибор оптимального значення h називається регуляризації по кроку. При цьому вважають, що є таке значення h, що вірно: | F (x + h) - F (x) | gt; , де - деяка мала величина.

Існує інший алгоритм мінімізації похибки апроксимації. Він полягає у виборі декількох точок області значень функції F поблизу початкової точки x_0. Потім обчислюються значення функції в цих точках, за якими будується лінія регресії, яка є згладжує для F на малому інтервалі.

отримані значення функції F є часткову суму ряду Тейлора: G (x) = F (x) + R, де G (x) - згладжена функція з похибкою апроксимації R. Після дворазового диференціювання отримаємо: G `` (x) = F `` (x ) + R ``, звідки R `` = G `` (x) - F `` (x) .Велічіна R `` як відхилення наближеного значення функції від її справжнього значення і буде мінімальною похибкою апроксимації.

Диференціювання функції при кожному значенні області її визначення призводить до появи нової функції. Таким чином, вона теж може бути Продиференціювали. Результатом цієї вторинної операції буде друга похідна вихідної функції.

Правила і методи диференціювання зберігаються для похідних вищих порядків. Це стосується деяких елементарних функцій, операцій додавання, твори і ділення, а також складних функцій виду u (g (х)): • u `= С` = 0 - похідна константи- • u `= х` = 1 - найпростіша функція одного аргументу- • u `= (х ^ а)` = а • х ^ (а-1) - • u `= (а ^ х)` = а ^ х • ln а - показова функція-

Основні тригонометричні функції також є табличними: • u `= (sin х)` - соs х-• u `= (соs х)` = -sin х- • u `= (tg х)` = 1 / соs х- • u `= (ctg х)` = - 1 / sin х.

Арифметичні операції пари функцій u (х) і g (х): • (u + g) `= u` + g`- • (u • g) `= u` • g + g `• u- • (u / g) `= (u` • g - g `• u) / g .

Досить важко вирахувати другу похідну складної функції. Для цього застосовують методи чисельного диференціювання, хоча результат виходить наближеним, присутня так звана похибка апроксимації : u `` (х) = (u (х + h) - 2 • u (х) + u (х - h)) / h + (h ) - інтерполяційний многочлен Ньютона-u `` (х) = (-u (х + 2 • h) + 16 • u (х + h) - 30 • u (х) + 16 • u (х - h) - u (х - 2 • h)) / (12 • h ) + (h ) - формула Стрілінга.

У цих формулах присутня якась величин h. Вона називається кроком апроксимації, вибір якого повинен бути оптимальним, щоб мінімізувати похибку обчислення. Підбір правильного значення h називається регулюванням по кроку: | u (х + h) - u (х) | gt; , де нескінченно мало.

Метод обчислення другої похідної застосовується при знаходження повного диференціала другого порядку. При цьому вона приватно розраховується для кожного аргументу і бере участь в кінцевому вираженні у вигляді множника відповідного диференціала d х, dy і т.д.: d u = u `/ х • d х + u` / y • d у + u `/ z • d z.

Приклад: знайдіть другу похідну функції u = 2 • х • sin х - 7 • х + х ^ 5 / tg х.

Решеніеu `= 2 • sin x + 2 • х • соs х - 21 • х + 5 • х ^ 4 / tg х - х / sin х-u` `= 4 • соs х - 2 • х • sin х - 42 • х + 20 • х / tg х - 5 • х ^ 4 / sin х - 2 • х / sin х + 2 • х • соs х / sin х.